Mozek se vzpouzí uvěřit
Několik neintuitivních chytáku a jejich řešení bez rovnic a výpočtů, jen za pomoci srozumitelných diagramů a selské logiky.
Díky lenosti jsem měl čest přednášet na brněnském Barcampu. Otevřenost tématu byla spíš svazující, tak jsem si řekl, že přijdu s něčím, co by v regulérním hlasování nevyhrálo: matematické úlohy z pravděpodobnosti 🙂 Nemají žádný odborný přínos, ale mozek hezky zabaví a můžete se s nimi blýsknout na intelektuálním dýchánku.
Na internetu už najdete video z přednášky včetně slajdů a jsem se sebou dost nespokojený. Ukousl jsem si příliš velký krajíc, měl jsem jednu úlohu vynechat a ostatním tak věnovat více času. Z nervozity jsem se dopustil i nepřesností a beru si z toho poučení. Abych měl klidnější svědomí, sepsal jsem tento článek, kde se pokusím úlohy zrekapitulovat lépe.
1) Monty Hallova úloha
Jste v televizní soutěži, kde finále probíhá následovně: stojíte před třemi zavřenými dveřmi, za jedněmi čeká hlavní výhra a vy si tipnete, za kterými (černá šipka). Poté moderátor otevře jedny ze dvou zbývajících dveří, ale jen ty, za nimiž výhra není (na obrázku jsou zaškrtnuté). Nyní máte možnost buď setrvat na své původní volbě, nebo ji změnit.
Otázka zní: Bude výhodnější setrvat, změnit volbu nebo je to úplně jedno?
Spoiler: ač se to zdá neuvěřitelné, pokud změníte volbu, zdvojnásobíte pravděpodobnost výhry! Zkusme rozkreslit všechny tři varianty, kde se může výhra skrývat:
Pokud volím ze tří dveří, je pravděpodobnost trefy pochopitelně ⅓. Což odpovídá situaci, kdy na původní volbě trvám (horní část obrázku). Následuje otevření dveří moderátorem. První varianta se rozpadá na dva případy, moderátor má možnost otevřít druhé i třetí dveře, nicméně změna volby vždy povede k prohře. Ve druhých dvou variantách při změně volby naopak vyhraji. Pravděpodobnost výhry je tak najednou ⅔.
Ano, rozpis hovoří jasně, ale selským rozumem se to stále zdá nepochopitelné. Dobrá, představme si, že dveře nejsou troje, ale je jich třeba sto. Vy si zase vyberete jedny dveře, moderátor poté otevře 98 dveří, aby opět zůstaly jedny nedotčené (oranžové) a s nimi i možnost změnit volbu:
Zůstanete u své původní náhodné volby? Nebo ji změníte na vyplynuvší oranžový čtvereček? Věřím, že teď už se vám intuitivně bude jevit výhodnější volbu změnit. Pro vyčerpávající vysvětlení doporučuji článek na Wikipedii.
2) Počty sexuálních partnerů
Podle sexuologických výzkumů mají čeští muži průměrně 9 partnerek, zatímco jejich ženy jen 5 partnerů. Podle selského rozumu by měly být počty vyrovnané. Nebo ne? Statistika je magie velkých čísel, jak je to doopravdy?
Z údajů ČSÚ vyplývá, že podíl žen a mužů v ČR 51 : 49. Velmi vyrovnané. Znázorníme je pomocí zjednodušeného vzorku 100 čtverečků:
Pro připomenutí, jak se počítá průměr? Celkovou sumu vydělíme počtem respondentů. A obráceně, když průměr vynásobíme počtem respondentů, dostaneme se k celkové sumě. Na obrázku tak vidíme 51 žen, které mají v průměru 5 sexuálních partnerů, celkově tedy prošly 255 unikátními sexuálními vztahy. V případě 49 mužů s udávaným průměrem 9 jde o krásných 441 partnerství!
Pokud je ovšem ono sexuální partnerství tvořeno mužem a ženou, musí si obě sumy odpovídat. Takže vyvstává otázka, s kýmpak to pánové ve 186 případech souložili? Jelikož jde o 42 % všech případů, těžko můžeme hledat vysvětlení ve větší promiskuitě gayů, spíš mám za to, že muži a ženy si pojem „sexuální partner“ vykládají krapet odlišně 🙂
3) Pravděpodobnost Kunhuty
Ok, sexuální partneření byla oddechovka před nejtěžším kalibrem. Před hádankou, kterou uvedu otázkou:
Rodina má dvě děti, jedno z nich je dcera. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
A po spočítání úlohy (viz níže) přijde to pravé kouzlo. Zadání lehce upravím:
Rodina má dvě děti, jedno z nich je dcera jménem Kunhuta. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery?
Změní se řešení? Co myslíme, může mít to, že se dcera jmenuje Kunhuta, vliv na pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Budete překvapeni, ale ano. Tuto rozumu se vzpírající úlohu jsem včetně intuitivního řešení publikoval už v článku Pravděpodobnost Kunhuty, nebudu se proto opakovat.
4) Jaká je odpověď na tuto otázku?
Pravděpodobností Kunhuty má přednáška na Barcampu končila, v ohlasech jsem ale dostal tip na ještě jednu velmi zajímavou úlohu, tak se s vámi o ni podělím.
Zadání: pokud zvolíte odpověď na tuto otázku náhodně, jaká je šance, že uhádnete?
Hlavu to umí zamotat patřičně, jen co je pravda. Tak se potrapte 🙂
Spoiler: odvodit řešení není vůbec snadné, zvolím proto opačnou cestu, tipnu si jej a pokusím se prokázat, že platí. (Z čehož ovšem nelze soudit, že půjde o jediné správné řešení.)
Řešení je 0 %. Proč? Ze zadání vyplývá, že vybírám jednu ze 4 uvedených možností. Předpokládejme situaci, že žádná z těchto možností není správná (nikde není řečeno, kolik jich je správných). Potom, ať vyberu kteroukoliv, je šance uhádnutí 0%. Přesně tak zní i otázka („jaká je šance?“), odpovědí je tedy 0 %. A jelikož tato odpověď není mezi nabízenými, potvrzuje se i předpoklad, že žádná z možností není správná.
Uff, chápu, že to bude chtít trošku času na vstřebání.
Poznámka: lidé řešící tuto úlohu se neobyčejně často dopouštěli chybné úvahy: „Vybírám jednu odpověď ze čtyř, přičemž dvě jsou stejné, tak to je jako bych vybíral 1 ze 3.“ Rozhodně ne! Pokud 2 odpovědi ze 4 jsou stejné, šance ji zvolit je 2:4 neboli 1:2. Což je docela zřejmé, nemyslíte? Ale žádné třetiny.
Komentáře
Roj #1
Souhlasím s nulou
Karel Bílek #2
U poslední otázky je otázka, jestli je odpověď „0%“ nebo „nemá řešení“, pokud je v definici tohoto typu otázky, že správnou odpovědí musí být jedna z nabízených.
pokud ne, tak je to opravdu nula.
Lukáš #3
Ta sexuální úloha není žádná velká věda, jednoduše lidé v těchto výzkumech nemluví pravdu, muži mají tendenci počet partnerek nadhodnocovat („jsem to ale kanec…“), ženy naopak podhodnocovat („přece nejsem žádná kurva…“).
Úloha s počtem dětí a pravděpodobností jejich pohlaví také není žádná vyšší dívčí, bere se to na VŠ v prvních hodinách pravděpodobnosti a statistiky.
Hellish #4
Já znám úlohu 4) ještě pikantnější. Za c) je 0% (místo 60%). Takže jaké je řešení teď? :D
Honza Prachař #5
Ad sexuální partneři. Je nesmysl brát aktuální počet mužů a žen v Česku – sexuální partneři babiček či dědečků už zemřeli – a tento vliv není rozhodně stejný na obě pohlaví, protože muži jsou v průměru sexuálně aktivní do vyššího věku než ženy.
Zkrátka ženy mají mnohem širší výběr sexuálních partnerů, což ovšem disproporci výzkumu ještě zvyšuje.
David Grudl #6
#5 Honzo Prachaři, ano, to je pravda. Ten příklad sloužil spíš k odlehčení mezi dvěma skutečnýma hádankama ?
#4 Hellishi, jsem zacyklen ? Ale v tomhle případě to mít řešení nebude.
Petr Staníček #7
Pan Gödel by z vás měl radost…
Snadné je to s množinou variant, které vesměs nastat nemohou (např. a) 110 %, b) pes, c) růžový šroubovák, d) bjasdh sdghasgd) – pak je řešením 0 %. Horší je to s mixem možností, které by za určitých okolností nastat mohly – ale logicky kterákoli z nich může nastat pouze tehdy, kdy její hodnota přesně odpovídá její skutečné pravděpodobnosti. Tedy např. 25 % u čtyř navzájem rozdílných možností nebo 50 % u přesné poloviny možností, 100 % u všech možností atd. Všechny ostatní případy mají stejný význam jako ten pes nebo „bjasdh sdghasgd“ – tedy pravděpodobnost nula.
Pokud ovšem je jedna z nabízených hodnot samotná nula, tedy máme si zvolit prvek vyjadřující, že tento prvek si nevybere nikdo, je to spor, paradoxní zadání a úloha nemá řešení. Což je asi nejhorší na celé matematice, smířit se tím, že jsou holt věci, které řešení nemají. Ale je to zcela normální jev:
x = x + 1, jaké je x?
Thomas von Kopfer #8
Pokud bychom byli důslední ve slovíčkařeni, pak řešením třetí úlohy je 100%. Matka je současně dcerou a je to příznak, kterého se nemůže zbavit (leda by si nechala chirurgicky zacelit pupík, ale stejně by pořád byla dcerou).
Nehledě na to, že v dnešní době může být rodina i lesbického typu.
Podlě mě by měla být otázka položena takto: „Jaká je pravděpodobnost, že obě z dětí jsou dcery?“
Petr Staníček #9
Mimochodem, daleko zajímavější by mi přišlo upravené zadání: místo náhodné volby se ptát na řízenou volbu, a přesunout se tak do teorie her. Řekněme že je skupina lidí a musí si vybrat jednu z možností. Když si vyberou tu správnou a trefí se jí do procenta správných odpovědí, přežijí – ostatní budou popraveni, třeba. Když tam bude aspoň jedna z možností „100 %“, je to jasný (musíte se ale modlit, aby se ve skupině nenašel nějaký kretén nebo sebevrah). Pokud tam budou hodnoty menší než 100 %, začíná správné maso. A pokud tam bude možnost „0 %“ přesouváme se do sféry populárních paradoxů typu: „Tato věta není pravdivá.“ Teorie je her je vždycky mnohem zábavnější a MNOHEM složitější než tyhlety obyčejné statistiky.
Petr Staníček #10
#8 Thomasi vone Kopfere, „Rodina má dvě dcery“ je synonymem toho, že má dvě děti ženského pohlaví. Fakt, že rodiče jsou také něčí dcerou, zde vůbec není obsažena.
Timy #11
#7 Petře Staníčku, To chce dodefinovat obor, ve kterém to řešíme, jinak si mohu zvolit nějaký, kde to bude platit. Například když si k reálným číslům přidám nekonečno a dodefinuji sčítání, tak mám ∞=∞+1. Není to dokonce ani absurdní příklad, Ruby tak funguje http://codepad.org/u0w6C0Bb
Petr Staníček #12
#11 Timy, Tak určitě… Dokonce jsem to tam i začal psát, ale pak jsem to smazal, že tím už si to opravdu nebudeme komplikovat. ;) Ke každému problému se dá nadefinovat metrika, obor nebo rovnou axiomatický základ, s nimiž je řešitelný. Spousta geometických problémů je snadno řešitelná s nějakou neeuklidovskou geometrií atd. Ale obvykle se předpokládá, že platí obvyklé a standardně používané parametry, pokud není výslovně řečeno jinak.
MT #13
Ad úloha 4:
0 % dle mého názoru není správná odpověď, protože „0 %“ není mezi odpověďmi (If you choose an answer to this question") – nelze ji tedy vybrat („choose“) jako odpověď.
A jestli se jako odpověď bere i něco jiného než A, B, C, D, tak pak by mě zajímalo, jak z toho neznámého počtu odpovědí (a neznámého počtu správných odpovědí) spočítáte pravděpodobnost.
Mimochodem, mám dojem, že nikdo nepostřehl, že správně může být kterákoli z odpovědí A, B, C, D – nikde totiž není řečeno, že pravděpodobnost výběru každé ze 4 možností je právě 1/4 = 25 %. Klidně to může být 1 %, 50 %, 1 % a 48 % a pořád to bude náhodný výběr (správná odpověď v tomto případě bude B).
Pro ty, co předchozí odstavec nechápou: když budu házet běžnou hrací kostkou, tak taky pravděpodobnost jevů „padne 6“ a „nepadne 6“ není 1/2 jen proto, že ty jevy jsou 2.
MT #14
A ještě jedna varianta odpovědí úlohy č. 4, pro rozptýlení:
Co je správnou odpovědí teď? ?
Jirka #15
#2 Karle Bílku, Tam jde hlave o to ze je řečeno „náhodně“ vybírat ze 4 možností takže vskutku 25 procent byť je tam dvakrát.
David Grudl #16
#13 MTe, pochopitelně se jako odpověď nebere nic jiného, než A, B, C, D. Ale nikdo neříká, že z nich musí být nějaká odpověď správná. V zadání to není ani naznačeno. Zkus si to představit takto:
Ad „pravděpodobnost výběru každé ze 4 možností je právě 1/4“ Na tom je postavená celá pravděpodobnost náhodného výběru, pokud s tímto chceš polemizovat, tak se těžko shodneme ?
#14 MTe,
teď je správnou odpovědí 50 %, ale to je triviální.jm #17
#11 Timy, Takhle funguje přímo ISO standard: https://web.archive.org/…/infnan.html
jm #18
Mimochodem, tady je osvětlená ta záležitost s Kunhutou: http://goo.gl/w8E45
David Grudl #19
#18 jme, to je dle mého špatně, výsledek není 1:2 nezávisle na četnosti jména.
MT #20
#16 Davide Grudle, Jenže originální zadání na rozdíl od příkladu se sudým číslem obsahuje odkaz na sebe sama, tj. že odpovědi na otázku (A, B, C, D) jsou zároveň odpovědmi na dotaz „jaká je pravděpodobnost“.
Když tento odkaz na sebe sama ignoruješ (tj. jako pravděpodobnost připustíš jiné číslo než u A, B, C, D), tak zase nejsi schopen říct, jaký mají čísla u A, B, C, D význam, a tedy ani to, jestli ty odpovědi jsou správné – a tedy už vůbec ne to, jaká je pravděpodobnost správné odpovědi.
Ad 4 a 1/4: Takže uznáváš, že pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne 6, je 1/2 (viz příklad v mém předchozím komentáři)? ?
To, že pravděpodobnosti všech možností (možných jevů) jsou stejné, je sice obvyklý předpoklad (takže se mezi laiky většinou ani neříká), ale platit to nemusí. A základy teorie pravděpodobnosti jsou něco jiného, vyhledej si třeba Kolmogorovu axiomatickou definici, ať máš představu, o čem to píšu.
Ad úloha z komentáře 14: Vážně? Podívej se na ty možnosti ještě jednou, pořádně.
(Nápověda: koukni na možnost A.)
MT #21
Mám technický dotaz:
Na web Latrine.cz se od včerejšího večera nemůžu přímo vůbec připojit, předchozí (a tento příspěvek) musím psát přes proxy.
Dělám něco špatně? Neodstřihl mě nějaký anti-spam nástroj v diskuzi?
autor #22
Nezapomněl jste u první úlohy na variantu, kdy auto je vpravo a vy změnou volby na prostřední dveře prohráváte?
Martin #23
U otázky s výběrem z možností je (implicitním) pravidlem, že se může vybírat pouze z nabídnutých možností. Tady je to ale navíc i explicitně požadované!
Správná odpověď proto nemůže být 0%.
Pokud byste totiž řekl „0%“, pak byste nesplnil podmínku implikace „If you choose an answer…“, protože jste si odpověď nevybral z nabídnutých.
Úloha nemá správné řešení.
Martin #24
#23 Martine, samozřejmě jsem mluvil o úloze č. 4
David Grudl #25
#20 MTe, nikoliv, pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne šestka, je 1:6.
Možnosti A jsem si skutečně nevšiml, pardon, odpovědí je tedy zase 0.
#22 autore, Pokud je auto vpravo, moderátor otevře prostřední dveře a soutěžící je tedy už nemůže vybrat
#23 Martine, Znovu opakuji jako v #16 David Grudl: ANO, vybírá se pouze z nabízených možností. Nikde ale není řečeno, kolik odpovědí (a zda vůbec nějaká) je správných. A otázka se neptá na to, která z možností je správná, ale jaká je pravděpodobnost, že správnou uhádnu.
MT #26
#25 Davide Grudle, Vidím, že si nerozumíme, tak ještě jednou:
Označme Q1 otázku odkazovanou v zadání: „this question“. Odpovědi na otázku Q1 jsou A, B, C, D (alespoň tak to chápu já).
Označme Q2 otázku „what is the chance you will be correct“.
Já tvrdím, že zadání je takové, že Q1=Q2 (identita), tj. že jde o jednu a tu samou otázku. Pak ale dle mého názoru na Q2 může být odpověď jen A, B, C, nebo D (resp. odpovídající číselná hodnota, např. 50 %). Odpověď 0 % tedy nelze uznat.
Ty, jestli to dobře chápu, ale tvrdíš, že jde o dvě různé otázky, tedy že odpověď na Q2 může být i něco jiného než A, B, C, D. Jenže pak nedává otázka Q2 vůbec smysl, protože nelze určit, co to je „be correct“ (natož určit jakoukoli pravděpodobnost). Možnost, že Q1 není totéž co Q2, tedy je nutné odmítnout.
A teď k té teorii pravděpodobnosti:
Výborně, uznáváš, že pravděpodobnost jevu „padne 6“ je 1/6. Tedy pravděpodobnost jevu „nepadne 6“ je 5/6 (pominu-li okrajové jevy jako „kostka zůstane na hraně“ apod.). Takže jsem tu dal příklad, kdy jsou 2 navzájem vylučující možnosti, a pravděpodobnost ani jedné z nich není 1/2. Takže tvé tvrzení, že na principu „N možností ⇒ pravděpodobnost jedné z nich je 1/N“ je postavena pravděpodobnost, je úplná blbost.
David Grudl #27
#26 MTe, z tohoto pohledu bych řekl, že hádanka nemá řešení, nicméně nevidím chybu ani v tvé úvaze, ani v důkazu v článku, že nula vyhovuje. Paradox, za chvíli mi exploduje hlava.
ad hod kostkou: představuje 6 vylučujících možností. Netuším, co se snažíš říct, ale pokud se v nějaké úloze řeší hod kostkou (nebo náhodný výběr z X možností), předpokládám, že všechny strany padají se stejnou pravděpodobností, není-li explicitně v zadání řečeno něco jiného.
MT #28
#27 Davide Grudle, V argumentaci v článku vidím tento problém:
Určitou úvahou (kterou nijak nezpochybňuji) dojdeš k tomu, že údaj 0 % odpovídá pravděpodobnosti čehosi (nezáleží čeho). Jenže 0 % není odpovědí na Q1 (A, B, C, D), takže i kdyby to bylo nejhezčí číslo na světě, tak není odpovědí na Q1=Q2.
Nebo ještě jinak:
Píšeš „Předpokládejme situaci, že žádná z těchto možností není správná“ – ale já tvrdím, že když povolím odlišení Q1 a Q2 (což v případě 0 % musím), tak nejsou schopen ani říct, co je správná odpověď. Jinými slovy v článku začíná „Předpokládejme nedefinovanou věc, pak z toho plyne…“ – ale o takový předpoklad se dá těžko v úvahách opírat.
MT #29
#27 Davide Grudle, A k té teorii pravděpodobnosti:
Napsal jsem v #13 MT: „nikde totiž není řečeno, že pravděpodobnost výběru každé ze 4 možností je právě 1/4 = 25 %“
A tys na to v #16 David Grudl reagoval (jestli jsem to správně pochopil), že na opaku „je postavená celá pravděpodobnost náhodného výběru, pokud s tímto chceš polemizovat, tak se těžko shodneme“
Tak já jen píšu, že na tom pravděpodobnost náhodného výběru postavena není. Předpoklad stejné pravděpodobnosti základních jevů potřebuješ jen v případě, kdy chceš používat vzorce typu pravděpodobnost = počet příznivých / počet všech. Tyto vzorce se někdy označují jako klasická (Laplaceova) teorie pravděpodobnosti. Pro praxi je ale ten předpoklad stejné pravděpodobnosti příliš omezující, proto se používají pro výpočty i jiné vzorečky, které ten předpoklad nepotřebují. Viz už jednou zmiňovaná Kolmogorova axiomatická definice. Koukni např. do Wikipedie, tam je to vysvětleno docela jednoduše.
David Grudl #30
#29 MTe, tak jsi nám to všem hezky vysvětlil a teď už bude jen dobře.
MT #31
#30 Davide Grudle, Myslel jsem si, že děláš při svých úvahách o pravděpodobnosti školáckou chybu (podobnou, jako jiní dělají s tou 1/3), tak jsem se ti to snažil – v dobré víře – vysvětlit.
Přeji hezký den.
Martin Mates #32
Ad Monty Hall: Davide, zkoušel jsem to už dříve několikrát vysvětlovat různým lidem, ale bylo to vždycky dost těžký vysvětlit. Bez obrázků skoro nemožné. Nakonec jsem vymyslel super důkaz, který je hned jasný.
Scénář 1 (Výběr nezměním): Abych prohrál stačí se strefit do jedněch prázdných dveří čili 2/3.
Scénář 2 (Výběr vždy změním): Abych prohrál musím se střefit hned napoprvé do auta 1/3.
Dobré ne? ?
Tento článek byl uzavřen. Už není možné k němu přidávat komentáře.