Pravděpodobnost Kunhuty
Pokud jste až dosud žili v bláhové představě, že disponujete selským rozumem, dovolte, abych vás vyvedl z omylu. Pravda, nepokouším se o to poprvé, tentokrát však vaši matematickou intuici pošlapu, zadupu do země, poté seškrábnu nožíkem a triumfálně spláchnu do suché toalety!
Čeká vás hříčka, o které se sice tuhle zmínili pánové Pixy a Arthur, ale stejně upadla v naprosté nevšimnutí. Nezasloužené nevšimnutí. Čeká vás hříčka, během jejíhož řešení se může dost dobře stát, že se přistihnete, kterak mlátíte hlavou do zdi (svou hlavou!) a nehty si zarýváte do míst, kde se ještě před chvílí skvěl vlas. Je možné, že roztrháte svůj vysokoškolský diplom, útržky spálíte a prach si v zoufalé křeči rozmažete po obličeji. Počítejte s tím a schovejte před sebou zapalovač včetně zdí. Ať se pak nevymlouváte, že jste s tím vůbec nepočítali.
Hádanka
Pojďme na to:
Zadání: Je rodina. Mají dvě děti. Jedno z nich je dcera.
Otázka: Jaká je pravděpodobnost, že rodina má dvě dcery?
Předpokládejme prosím, že dcer i synů se rodí stejně. Zkuste chvíli přemýšlet, než vychrlíte odpověď, protože vám rovnou říkám, že „50 %“ není správně. Nečtěte dál a přemýšlejte! Chápu, že vás to svádí ve čtení pokračovat, ale kazíte si tak zábavu jen sami sobě. Správnou odpověď prozradím na konci článku.
Hádanka s třešničkou
Pokud jste vyřešili předchozí úkol, gratuluji, leč mám pro vás nový, podobný, jen s maličkou obměnou.
Zadání: Je rodina. Mají dvě děti. Jedno z nich je dcera jménem Kunhuta.
Otázka: Jaká je pravděpodobnost, že rodina má dvě dcery?
Prozradím vám, že řešením této úlohy je docela jiné číslo, než v případě úlohy první. Nedělám si legraci! Přemýšlejte, dumejte, trapte své mozkové závity. Správnou odpověď prozradím až na konci článku.
Řešení
(Řešení jsem doplnil později, komentátoři je nečetli).
Nejprve hádanka bez třešničky. Jelikož se synů i dcer dle zadání rodí stejně, při narození prvního dítěte je šance 1:1, že to bude holka nebo kluk. Při narození druhého dítěte taktéž, tedy mohou nastat tyto čtyři varianty se stejnou pravděpodobností 25 %:
- holka + holka
- holka + kluk
- kluk + holka
- kluk + kluk
Pomůžeme si grafickým znázorněním, kde každá varianta zabírá odpovídajících 25 % plochy:
Černá čára ohraničuje část diagramu, pro kterou platí, že rodina má dceru (vypadl tedy čtverec K-K). Růžový čtverec H-H je onen hledaný stav, kdy má rodina dvě dcery. Z obrázku je zřejmé, že růžový čtverec tvoří ⅓ ohraničené oblasti, tedy i odpověď na hádanku zní: pravděpodobnost je 1:3.
A nyní varianta s třešničkou. Budete se divit, ale pravděpodobnost závratně vzroste!
Jak je to možné, pomůže opět pochopit diagram. Pokud by se každá žena jmenovala Kunhuta, graf by se nijak nelišil od předchozího a také řešením by bylo 1:3. Ženy ale mají různá jména. Zkusme předpokládat, že se Kunhuta jmenuje třeba každá šestá žena.
Čtverce H-K a K-H se tím pádem rozdělí na šestinu (na obrázku tmavší plocha), kde se žena jmenuje Kunhuta, a světlejší část, kde nikoliv. Čtverec H-H ovšem představují dvojice žen a každá z nich má šanci 1:6 se jmenovat Kunhuta. Proto se opět rozdělí na šestinu a ještě i zbývající část na šestinu. Šance, že alespoň jedna z nich bude Kunhuta, je potom 11:36 (růžová část, tvořená 11 miničtverečky z 36).
Z obrázku je vidět, že růžová tvoří přibližně ½ celé ohraničené oblasti. S tím, jak se četnost jména Kunhuta v populaci snižuje, bude se úžit i vyznačená oblast a poměr se bude stále více (limitně) blížit k 1:2. Dle ČSÚ máme v republice 4 Kunhuty, odpovědí na otázku pak je 49.99999076 %.
Ze zadání není jasné, zda mohou mít obě dcery stejné jméno (což u nevlastních sourozenců možné je). Pokud bychom tuto variantu vyloučili, výsledek by se změnil zcela nepatrně. Záměrně neuvádím žádné rovnice, protože se mi jeví přínosnější hádanku vyřešit graficky a intuitivně. Rovnice si pak už můžete odvodit jako cvičení.
Komentáře
pl4nt #1
:D hezké jméno si vymyslel, už jsem tu hádanku viděl s jiným jménem a je to spíše o „slovních“ hrátkách než o pravděpodobnosti :)
David Grudl #2
#1 pl4nte, je to ryze matematická hádanka a skutečně jde o pravděpodobnost, zadání by mělo být přesné.
pl4nt #3
Ono totiž to vypadá, že se nic neděje. Odeslal jsem a četl si dál a myslel jsem, že se to neodeslalo.
Jj to zadání je přesné, ale u té druhé hádanky je to vtipné řešení :D
Miro Hrončok #4
Napadají mě dvě odůvodnitelné řešení.
Pavel D. #5
Tak já to zkusím. V prvním příadě si myslím, že ta pravděpodobnost bude 25% a v tom druhém si myslím, že 50%.
V tom prvním případě jsou možnosti: dvě dcery, dcera a syn, syn a dcera, dva synové. Pro nás příznivé je tedy ta jedna, kde jsou dvě dcery.
Ve druhém případě si myslím, že máme možnosti: Kunhuta a sestra, Kunhuta a bratr.
Šimon #6
#5 Pavle D., Dva synové tam být nemůžou, je tam napsaný že je alesoň jedna dcera, tudíž můžou být jen dvě možnosti ne? dcera – dcera | dcera – syn … a něco mi říká že to bude 2 : 1 tj 66,66 %
Mamut #7
Aby to bylo přesné, mělo by být uvedeno, zda „jedno z nich“ znamená „právě jedno z nich“ nebo „alespoň jedno z nich“.
Tak jak je to napsáno záleží na slovíčkách, kterou interpretaci si domyslím z kontextu. Proto bych řekl, že odpověď na první otázku je 0 % a na druhou otázku 50 %.
Aleš #8
V prvním případě je to 1/3 … variantu kluk+kluk můžeme vyloučit a zbývá kluk+holka, holka+kluk a holka+holka. V druhém případě se mě zdá že je to stejné jako v prvním.
tasselhof #9
Předpokládejme, že mám „dokonalou minci“ která při hodně dlouhém házení dává stejné počty rubů a líců.
A támhle stojí Pepa, který touto mincí hodil už devětkrát a pokaždé (devětkrát za sebou) mu padla panna. Teď hodí podesáté. Jaká je pravděpodobnost, že mu padne panna?
Ano, asi začínám další flamewar a ano, asi mě budete nenávidět a ano, asi taky budete mlátit hlavou o zeď (doufejme, že ne tou mojí), ale Pepa má 50% šanci, že mu padne panna.
Dokažte mi opak a já spálím svůj diplom, který jsem získal také díky složeným státním zkouškám ze statistiky ?
ShadoW #10
#9 tasselhofe, To ano, samozřejmě. Ale otázka zní jinak.
Pokusím se převést obě hádanky na mince:
numero #11
To první je celkem jasné, to druhé si nejsem jistý, ale v zájmu škodolibosti nebudu prozrazovat ?
ShadoW #12
#10 ShadoWe, Samozřejmě mají poslední věty u obou otázek znít: „Jaká je pravděpodobnost, že padne dvakrát panna?“
Michal Písečný #13
#9 tasselhofe, Přestože, jak říkáš, máš státní zkoušky ze statistiky, tak přečíst si a pochopit souvětí s cca deseti slovy jsi se nenaučil. :)
Multimotyl #14
JAJ!!!!
habrda #15
v prvním případě 1/3
ve druhém případě je zadání trochu nepřesné, pokud platí, že se obě dcery nemohou jmenovat stejně, tak je to 50%
spacák #16
když si to primitivně rozepíšu, tak to vychází takto:
z prvního zadání jsou možné 3 varianty:
holka-kluk
kluk-holka
holka-holka
ze tří variant vyhovuje jen jedna, řešení tedy je, že pokud má rodina dvě děti a jedno z nich je dcera, tak s 1/3 pravděpodobností, že rodina má dvě dcery.
v druhém zadání jsou možné jen dvě varianty.
kunhůta může mít buď bratra nebo sestru:
kunhůta-bratr
kunhůta-sestra
ze dvou variant vyhovuje jedna, řešení tedy je, že pokud má rodina dvě děti a jedno z nich je dcera kunhůta, tak s pravděpodobností 1/2 má rodina dvě dcery.
myslím, že chyták je v tom, že přesto, že zadání jsou skoro stejná, tak se v každém případě pravděpodobnosti berou z jiného počtu variací. v prvním jsou to variace 2 ze 2 s opakováním a v druhém případě už to jsou jen variace 1 ze 2.
Honza #17
Myslím si že účelem téhle hádanky je zblbnout lidi a pak se bavit jejich řešeními a zdůvodněními ?
Je to 50% v obou případech. Víme jistě, že jedno dítě je holka v obou případech. Jakého pohlaví je jedno dítě nemá vůbec žádnou souvislost nebo vliv na pohlavím druhého. Takže pokud se rodí stejně chlapců jako dívek, pravděpodobnost toho, že druhé dítě je holka, je stále 50%.
(Tohle je zjednodučené řešení vycházející z údaje, že se statisticky rodí stejně kluků jako holek. V praxi to bude jinak, protože ta úloha vůbec nesouvisí s matematickou pravděpodobností, ale je to úloha z evoluční biologie, která funguje podle teorie chaosu, a kde bez statistických údajů o počtu sourozenců holka+holka VS holka+kluk stejně nic nevymyslíme.)
ShadoW #18
#17 Honzo, Takhle bohužel (bohudík) podmíněná pravděpodobnost nefunguje.
Rado #19
#16 spacáku, Když má rodina „kluka a holku“ tak je to jiná variatna než když má „holku a kluka“???
Já si myslím, že je to jedno a na pořadí nezáleží.
Jakub Hejda #20
Budu škodkolib: Je to jasný, maj dvě dcery. Kunhůtu a Džamilu.
Roman Pištěk #21
Maminka není ze zkumavky, že ne? ?
lukyn.v #22
S největší pravděpodobností je pravděpodobnost dvou dcer 99 %, páč Kája Gott má taky samé dcery a dokonce všechny štyry. :)
Evžen #23
xMartina #24
#7 Mamute, napadlo mě úplně stejné řešení :)
V prvním případě mi z věty vyplývá význam „právě jedno z nich je dcera“, tudíž druhé musí být chlapec. Pravděpodobnost 2 dcer je tedy 0%.
U druhého případu je řečeno, že práve jedno z nich je dcera a zároveň se jmenuje Kunhůta. To nám o druhém dítěti říká, že to není dcera Kunhůta. Tedy to může být chlapec nebo dívka jiného jména než Kunhůta. Pravděpodobnost 2 dcer je tedy 50%.
Zdenda #25
V prvním případě vybírám z trojice variant (Holka+Kluk, Holka+Holka, Kluk+Holka), tedy 33%.
V druhém případě vybírám z dvojice (Kunhuta+holka, Kunhuta+kluk), tedy 50%.
…musel jsem si to nakreslit…
paranoiq #26
zadání je tak nepřesné jak jen může být, aby se ještě dalo tvrdit, že je přesné :]
z toho co je napsáno výše nemohu v zádném případě soudit, jaké zadání si autor hádanky představoval, když ji psal.
pokud by šlo o matematické řešení, byla by hádnka zapsána jako matematický výrok. tady jde jen o to, aby se vševědoucí bavil tápáním ostatních :]
mimochodem, jakékoliv řešení obsahující zlomek tří je už z principu špatně :P
Dash9 #27
IMHO v prvním případě 0%. Stav „dvě dcery“ odporuje podmínce „(Pravě) Jedno z nich je dcera.“
V Druhém případě 50% – druhá podmínka už je zjemněna. A na pořadí kluk-holka nezáleží.
Ondřej Tomek #28
Pche, namáhat mozek? Proč? Zachovám se jako dnešní děti a prostě se zeptám, no ne?
http://www.google.com/search?…
Lubomír Hauerland #29
No, pokud by otázka zněla s jakou pravděpodobností budu v souboru x rodin pozorovat kombinaci dcera-dcera, tak by to bylo těch 1:3 u prvního příkladu. Jestliže se ale mluví o tom, že je jedna rodina, tak je to nešťastně zadané, protože ta pravděpodobnost je těch 50 procent. Jinak: Když mám dvě kadibudky, v jedné je člověk tlačí člověk na velké a já chci být v sousední, tak mám ze zadání 50 procentní pravděpodobnost, že půjdu na velkou nebo malou. A že se v tom shodnu se sousedem je to pořád 50 procent. Kdybych chtěl vědět, s jakou pravděpodobností se vyskytne na fesťáku plném kadibudek kombinace dvou tlačících, tak by to bylo 1:3.
MrRubikon #30
Mohlo by to být tak, jak píše jeden z přispěvovatel, že výrok „jedno z nich je dcera“ implinkuje že „druhé je syn“. Naproti tomu „jedno z nich je dcera jménem Kunhuta“ toto neimplikuje.Asi to tak bude, pokud by tam stálo „nejméně jedno z nich je dcera“, je to něco jiného a s tím se to asi nesprávně zaměňuje. Výrok „jedno z nich je dcera“ je asi dle pravidel logiky jasný – PRÁVĚ JEDNO. Z toho tedy vyplývá – provní příklad – 100%, druhý příklad –50%. Co ty na to ?
#13 #31
Stále mě nikdo nepřesvědčil o tom, že odpověď na první otázku není 50 % (a to jsem četl i původní článek a diskusi, kam odkazoval Pixy).
Dvě děti mají pohlaví buď stejné, nebo různé. Pravděpodobnost obého jest 50 %. Pokud znám pohlaví jednoho z nich, tak to podle mě pravděpodobnost toho jevu nijak nemění.
Nebo jinak:
Dítě je na 50 % holka, na 50 % kluk. Jestli se předtim mamince narodila holka, nebo krokodýl, je přece jedno. Obdobně argumentoval #9 tasselhof
Roman Pištěk #32
Výkřik do tmy č. 2: „Rodina má dvě dcery“ vs. „Rodiče mají dvě dcery“…
Tom #33
Hehe… tohle mi nedá a zkusím to taky:
beru v potaz fakt, že ani jedno dítě není defenerované a není kluk i holka dokupy ;)
hádanka č.1: tedy mají 2 děti. To může být
Takže bych řekl, že pravděpodobnost bude 1:3, tedy nějakých 33%.
Hádanka č.2: 2 děti, jedno z nich je holka jménem Kunhůta.
beru to tak, že obě děti nemají stejná jména:
Tak tohle bych vyděl tak 2:2, tedy nějakých 50%.
Tak snad nebudu za úplného blbce ;)
MrRubikon #34
Analogie: 1) Máme v rodině dvě kola, jedno z nich je pánské. 2) Máme v rodině dvě kola, jedno z nich je pánské kolo značky Author. Výraz jedno z nich je skutečně třeba chápat jako „právě jedno z nich“, neboť jinak by v zadání (pokud se chce nazývat logicky správné) stálo „nejvýše jedno z nich“ nebo „nejméně jedno z nich“. Tedy moje řešení – 1) – 0%, 2) – 50%.
Martin Malý #35
Deža vý!
Honza #36
#34 MrRubikone, „Jedno z nich“ znamená „jedno z nich“ a nic víc, nehledej v tom žádný chyták. Kdyby to autor myslel jako „právě jedno“, „nejméně jedno“, „nejvýše jedno“, nebo jinak, napsal by to do zadání, ale tím by zásadně zjednodušil řešení. Ta věta nevypovídá a nemá nic vypovídat o druhém kolu (dítěti).
David Grudl #37
První přišel se správným řešením #15 habrda a následně ho téměř přesně vysvětlil #16 spacák a #33 Tom. Gratuluji!
Nejlepší způsob, jak řešit tyto úlohy, je rozepsat všechny možnost, vyškrtnout ty, které ze zadání přímo nevyhovují a pak spočítat poměr. Hlavně nepouštět ke slovu intuici.
Doplněno později: druhou úlohu přesně spočítal a vysvětlil až #82 MT. Taktéž gratuluji!
Hellish #38
#37 Davide Grudle, – „Vyškrtávací metodou“ jsem na správné řešení přišel dávno, ale doteď jsem nepřišel na jednoduché vysvětlení, jak to, že přidání křestního jména do úlohy změní výsledek pravděpodobnosti. Jak to teda je? :)
Cigan #39
co na tom nechapete?
1/ A nebo B je holka
2/ A je holka
to je ten rozdil
paranoiq #40
#26 paranoiqu, au. nakonec to vypadá, že jsem se také nechal nachytat :]
#33 Tome, druhý výsledek mi nakonec vyšel 60%, nikoliv 50% (dvě Kunhůty)
a – vyhovující zadání
b – platný výsledek
#38 Hellishi, obecné řešení je x = (2n – 3) / (2n – 1) pro n > 1, kde n je počet rozlišujících vlastností (dcera, dcera Kunhůta, dcera Kunhůta s copánky, dcera Kunhůta se zrzavými copánky…), tedy 1/3, 3/5, 5/7, 7/9.. tedy řada konvergující k jedné.
Martin Malý #41
#38 Hellishi, Jak to? No to je prosté, jedná se o tzv. fenomén Schrödingerovy dcery
Martin Kozák #42
Ptám se, proč bereme do úvahy kombinaci:
když z hlediska otázky, tedy pravděpodobnosti, kolik mají rodiče dcer, je to stejný případ. Pokud víme, že rodiče už jednu dceru mají, mohou nastat případy:
Je lhostejné kdo je „první“ a kdo „druhý“. Zajímá nás počet. Na pořadí přece nezáleží. Nemluvě o tom, že „Jedno z nich je dcera.“ znamená co? Že právě jedno z nich je dcera nebo nejméně jedno z nich je dcera?
Totéž platí pro druhou část úlohy. Podstatný je příznak „jsem dcera“. Ne zda jsem Kunhůta anebo dcera. To „kolik“ nás přece odkazuje na kombinace s opakováním, nikoliv na variace s opakováním.
Davide, jsi si skutečně jistý, že to řešení je správné? Existuje někde v tomto smyslu matematický důkaz?
Nelíbí se mi, totiž. A nejde o selský rozum. Možná jen nerozumím.
Mamut #43
#39 Cigane,
To je právě podle mě chybné zjednodušení. Pokud tedy už zadání obou úloh chápeme jako „Právě jedno z nich je …“, tak správný symbolický zápis je podle mě
1/ A nebo B je holka
2/ A nebo B je holka a zároveň se jedna z holek jmenuje Kunhuta.
To, že se dcera nebo jedna z dcer nějak jmenuje nijak nemění pravděpodobnost prvního jevu.
Aby bylo možné použít rozpisy jako třeba #33 Tom, musely by být jednotlivé možnosti stejně pravděpodobné, čehož by bylo možné dosáhnout pouze při uvážení pravděpodobnosti pojmenování dcery Kunhuta.
Zdeněk #44
Přeji všem hezký červem,
Takové základní počty z pravděpodobnosti a hned abychom trhali diplomy. A já to propásl ve vlaku.
#31 #13, Takto to vážně nefunguje. Selský rozum se k této teorii přiklání, ale zde je potřeba přepnout mozek do pravděpodobnostního prostoru.
#37 Davide Grudle, Odkazuješ se na komentář #33 Tom, leč u něj nejsi uveden, že reaguješ. Jsem zmaten :). Chyba?
Cigan #45
#43 Mamute, Prave,ze meni. Zkuste zagooglit a najit „Monty Hall Problem“ nebo se podivat na film „21“. Podobny priklad
Martin Kozák #46
Vyjdu z argumentů Arthura Denta na blogu Martina Malého. Z uvedených závěrů vypývá, že 66% dvoudětných párů které mají dceru mají jako druhé dítě syna. Vypadá to vzhledem k distribuci synů a dcer v populaci jako nesmysl, ale je nutno zvážit, že 75% dvoudětných párů má syna stejně jako 75% dvoudětných párů má dceru. A když řeknu, že jednu dceru mám určitě… Zjistíme, že je tomu skutečně tak.
Honza #47
#37 Davide Grudle, To je špatně, nechal jsi se zmást jako spousta dalších. I kdyby to tak šlo řešit, jak to pěkně popsal
#42 Martin Kozák , holka+kluk i kluk+holka jsou stejná možnost, tudíž by to vyšlo 1/2. Což je to v tomto případě náhodou správný výsledek, ale kdyby nebylo jisté, že jedno dítě je dcera, nebo by byl například větší celkový počet dětí, už tato matematika nevycházela.
Pro řešení této a dalších úloh je třeba pochopit, že to, jakého pohlaví se narodí první dítě, nemá vůbec žádnou souvislost s tím, jaké pohlaví bude mít druhé nebo nějaké další dítě (pokud se nebudeme pouštět do kvantové fyziky, teorií superstrun, apod. (v případě dětí by se dalo uvažovat i o vlivu genetiky)). Mezi nezávislými jevy nelze matematicky vyjádřit jakoukoliv závislost, i když se oba odehrávají ve zdánlivě omezené soustavě (rodina).
Nebo snad chce někdo tvrdit, že když si hodím korunou, ovlivním tím třeba co padne kolegovi co sedí vedle v kanclu? To by bylo tak na trhání maturitního vysvědčení ?
Honza #48
#43 Mamute, V zadání chybí to slovíčko „přávě“, a to z důvodů, že tam být nemá ani si ho nikdo nemá domýšlet. Tak ho tam nehledej.
Cigan #49
#47 Honzo, Prirovnani s korunou.
Hazim s kolegou.
1/ Jaka je pravdepodobnost, ze hodime oba pannu, kdyz vime, ze alespon jeden z nas pannu hodil?
66%
2/ Jaka je pravdepodobnost, ze hodime oba pannu, kdyz vime, ze kolega hodil pannu?
50%
Takhe to vidim ja
Mamut #50
#45 Cigane, Omlouvám se, nechal jsem se unést odhadem. Když jsem si to teď rozepsal tak docházím k 50 % i při uvážení pravděpodobnosti pojmenování.
Pro zajímavost uvedu jak jsem postupoval:
Pravděpodobnost, že dítě je holka je X = 0,5.
Pravděpodobnost, že dcera se jmenuje Kunhuta je A.
Pravděpodobnost, že dítě je dcera jménem Kunhuta je tedy AX.
Pravděpodovnosti vyhovujících možností jsou tedy:
P1. Kunhuta:kluk AX * (1-X)
P2. Kunhuta:holka AX * X*(1-A)
P3. holka:Kunhuta (1-A)*X * AX
P4. kluk:Kunhuta (1-X) * AX
Pravděpodobnost úlohy 2 je tedy (P2+P3) / (P1+P2+P3+P4), což překvapivě (pro mě) skutečně vyjde X, tedy 50 %.
Díky za hádanku.
Tomik #51
#35 Martine Malý, Deži jsem se ptal, a neví…
Cigan #52
#49 Cigane, pardon v prvnim pripade samozrejme 1/3 tj 33%
Martin Malý #53
#46 Martine Kozáku, „Vyjdu z argumentů Arthura Denta na blogu Martina Malého“ – děkuji, to je zatím nejpoetičtější popis mé schizoidní osobnosti.
S pozdravem
Martin Malý aka Arthur Dent
Marvn #54
Spacak #16 spacák ma pravdu.
btw. pokud se podivujete nad rozdilem kluk-holka a holka-kluk, tak vezte ze zadny rozdil tam neni…lepsi je to ale rozepsat, aby byli vsechny skupiny stejne pocetne…jinak by to bylo
kluk-kluk(25%)
kluk-holka(50%)
holka-holka(25%)
→ tj kdyz nam podminka (jedno z nich je dcera) vylouci skupinu kluk-kluk, zbyva nam 50% proti 25% :)
Martin Kozák #55
#53 Martine Malý, Jo to byl majitel osobně ?
OK. Ono to stejně nebylo tam, ale u Pixyho.
mČ #56
No, a pod jakým názvem je tedy úloha známá? Monty Hall je něco jiného… Aha, tak [[w:Boy or Girl Paradox]] (tam se ovšem ke Kunhůtě ještě nepropracovali :)
#13 #57
#44 Zdeňku, No jo, ale chtělo by to říct, proč to tak nefunguje. O pravděpodobnosti hodu na kostce se dá hovořit selskými výrazy stejně jako matematickými a dá se dojít ke stejným (správným) výsledkům. Jdu si nicméně pročíst tu Wikipedii.
#13 #58
#57 #13, Tak Wikipedia to vysvětlila velice dobře :)
Hekko #59
#35 Martine Malý, Dones kladivo a hřebíky, ona se vrátila!
The Zero #60
Podle mě je špatný předpoklad uvažovat varianty dcera – syn, syn – dcera, dcera – dcera u první otázky. V případě rozdílných pohlaví uvažujeme pořadí, v případě dvou dcer ne. To je přece špatně. Chybí tam ještě jednou dcera – dcera, IMHO.
binarniladin #61
#37 Davide Grudle, v tom případě mi ovšem chybí (myšleno v rozpisu všech možností první hádanky) varianta holka-holka
celý rozpis by mě vypadat
holka kluk
kluk holka
holka holka
holka holka
To že děvčata v první hádance nemají jméno, je jen svévole v zadání , nikoliv realita, protože v realitě jsou to nepochybně dvě odlišené entity a lze je přehazovat úplně stejně, jako lze měni pořadí chlapec dívka, dívka chlapec ..
..vymluví mi to někdo nějak?
Tím že u děvčete z první hádanky vynecháme jméno, jí nijak nepřipravíme o schopnost vyměnit si v úvaze o tom kdo je mladší a kdo starší, místo se svou hypotetickou sestrou …
Antirux #62
No dle mého názoru to že rodiče pojmenují svoji dceru Kunhůta značí, že totálně vyčerpali svoji představivost při vybírání prvního dívčího jména a Kunhůta má tedy starší sestřičku. (omlouvám se všem Kunhůtám, nic proti vám nemám…)
Evžen #63
#62 Antiruxi, No, je jich v republice šest, takže IMHO žádná odplata nehrozí, i kdyby se všechny spikly.
bongo-bongo #64
Je mi líto, ale řešení hádanky s Kunhutou je stejné jako řešení 1. hádanky – tedy 1/3. Autor se asi pokusil modifikovat hádanku popsanou ve Wiki, ale udělal to tak neštastně, že se změnilo i řešení. Tvrdím, že jméno holky je nadbytečné a na řešení nemá žádný vliv.
#33 Tome, popisuje správně čtyři varianty, tedy:
A: Kunhuta – holka
B: holka – Kunhuta
C: Kunhuta – kluk
D: kluk – Kunhuta
Jenomže finta je v tom, že pravděpodobnost jednotlivých variant není stejná. Pokud mám vypsat varianty se stejnou pravděpodobností a trochu násilně do řešení zatáhnu tu Kunhutu, která je tam ve skutečnosti zbytečná, potom modifikací možností z 1. hádanky:
A: holka – holka
B: holka – kluk
C: kluk – holka
dostanu:
A: holka – holka (přičemž platí, že jedna z holek je Kunhuta)
B: holka (jménem Kunhuta) – kluk
C: kluk – (holka jménem Kunhuta)
No a jsme u stejného řešení jako u 1. hádanky, tedy 1/3.
Abych se vrátil k té Wiki, tam je druhá hádanka něco jako „Je rodina. Mají dvě děti. Mladší dítě je dcera. Jaká je praděpodobnost, že rodina má dvě dcery?“ Potom je pochopitelně řešením pravděpodobnost 50 %. Vidíte ten rozdíl?
Jarda Jirava #65
Ahoj,
také se projevím, byť mi příbuzenské vztahy dělají občas problém.
>Zadání: Je rodina. Mají dvě děti. Jedno z nich je dcera.
>Otázka: Jaká je pravděpodobnost, že rodina má dvě dcery?
Protože víme, že jedno z dětí je dcera a my potřebujeme znát pravděpodobnost výskytu ještě druhé dcery, tak ji zkusíme zjistit. Pokud budu předpokládat, že i matka je dcerou svých rodičů, tak mám 100% jistotu, že v rodině jsou dvě dcery.
Já vás předem varoval :)
Tomáš #66
Tak kde je pravda? Ctj za hádanku, když nemá odpověď?
bongo-bongo #67
Ještě si dovolím doplnit svoje řešení #64 bongo-bongo.
Druhá hádanka by měla řešení 50 % pouze pokud bychom přijali výchozí předpoklad, že „jméno Kunhuta dostávájí stejně často holky i kluci“.
Jenomže – až pocaď to bylo lehký. Teď zkusíme třetí hádanku:
Výchozí předpoklad: Jméno Kunhuta dostávají stejně často holky i kluci.
Zadání: Je rodina. Mají dvě děti. Mladší z nich je dcera jménem Kunhuta.
Otázka: jaká je pravděpodobnost, že rodina má dvě dcery?
?
Plesnivý dědek #68
#65 Jardo Jiravo, Konečně správná odpověď k „hádance“, která není hádankou – nejen že totiž nepřímo předpokládá, že známe rozložení pravděpodobnosti jevů (co když je to 45/55 pro kluk/holka?), nebo že známe množinu možných hodnot (jak vím, že to nemohou proměnné nabývat hodnot kluk/holka/hermafodit/něco_zeleného?), ale taky motá jabka s hruškama. Pokud chci znát pravděpodobnost nějakého jevu a nechávám na „intuici“ domyšlení vstupních dat, tak je celkem jasné, že dojdeme k různým výsledkům. Jardův výsledek je ale nejkrásnější a jeho impérium hezky vrací úder :)
Zdeněk #69
#64 bongo-bongo, Blbost, vsak kdyz pises
A: Kunhuta – holka
B: holka – Kunhuta
C: Kunhuta – kluk
D: kluk – Kunhuta
a dosadis do vzorce pro zakladni pravdepodobnost (pocet_spravnych / pocet_vsech moznych), vychazi ti:
2/4 = 50%
bongo-bongo #70
#69 Zdeňku, už jsem jednou psal, že varianty A, B, C, D nemají stejnou pravděpodobnost. To by snad platilo, kdyby byla tři rovnoměrně zastoupená pohlaví – kluci, holky a Kunhuty. Jenomže tak to není. Varianty A a B mají dohromady stejnou pravděpodobnost jako jednotlivé varianty C a D.
StanleyCZ #71
#63 Evžene, Docela by mě zajímalo, jaký bude mít tento článek vliv na procentuální zastoupení Kunhůt v naší populaci ?.
David Grudl #72
#54 Marvne, na to kápl. Skutečně není rozdíl mezi kluk-holka a holka-kluk, ale pokud to spojíme, tak máme jev, který má jinou pravděpodobnost, než jev kluk-kluk nebo holka-holka.
Intuitivnější je říci si, jaká je pravděpodobnost, že se někomu narodí dva kluci. Že první díte bude kluk je jev s 50% pravděpodobností. Že i druhé dítě bude kluk má pravděpodobnost 25 %. To stejné se dá říci o holkách. Zbývá tedy 50 % pro případ kluk-holka a holka-kluk. Můžeme to sloučit, ale pak počítejme s tím, že to má dvojnásobnou pravděpodobnost.
David Grudl #73
PS: byla by škoda nezmínit třetí variantu této úlohy, o jejíž spočtení tuhle usiloval soud: Je rodina. Mají dvě děti. Obě zpívají v Bambini di Praga, protože i maminka tam zpívala. Jaká je pravděpodobnost, že se Bohumil Kulínský dopustil incestu?
CZNeo #74
LOL, Dejve, ty seš dobrej provokatér :)
Roj #75
Mno, mas tady dobry portfolio ctenarek, skoro se nedaji nachytat ?
Diakritikum je středního rodu, ehm…
tedy veta ma znit „Roji, piš prosím s diakritiky“ ?
bubo #76
chalan + chalan → 0.5*0.5 = 0.25
chalan + kunhúta → 0.5*p = 0.5p
chalan + nekunhúta → 0.5 * (0.5-p) = 0.25 – 0.5p
kunhúta + chalan → p*0.5 = 0.5p
nekunhúta + chalan → (0.5-p) * 0.5 = 0.25 – 0.5p
kunhúta + nekunhúta → p * (0.5 – p) = 0.5p – p2
nekunhúta + kunhúta → (0.5 – p) * p = 0.5p – p2
nekunhúta + nekunhúta → (0.5-p)^2 = 0.25 – p + p2
kunhúta + kunhúta → p2
vieme, že aspoň 1 decko sa volá kunhúta ⇒ vyberieme tie, kde figuruje
aspoň 1 kunhúta.
chalan + kunhúta = 0.5p
kunhúta + chalan = 0.5p
kunhúta + nekunhúta = 0.5p – p2
nekunhúta + kunhúta = 0.5p – p2
kunhúta + kunhúta = p2
suma = 2p – p2
otázka je, či sa obe decká môžu volať kunhúta :-/..
ak áno, tak pravdepodobnosť 2 holiek bude takáto:
(2 * (0.5p – p2) + p2) / (2p – p2) = (p – p2) / (2p – p2) = (1 – p) / (2 – p)
ak nie, tak takáto:
2 * (0.5p – p2) / (2p – 2 * p2) = (p – 2 * p2) / (2p – 2 * p2) = (1 – 2p) / (2 – 2p)
:) som na seba hrdá, ale príde mi to ako totálna hovadina :x… už sa teším na ten výsledok, bo mi to nedalo spať :P
Vlasta #77
kdyby byl Grudl trochu chytřejší, napsal by že dítě má jméno Vlasta. Pak by se z toho všichni matematici opotili jak dveře od chlíva a začali by kvůli tomu generovat rovnice Lorentzových transformací. Sukces zaručen.
Martin Malý #78
#77 Vlasto, A co teprv varianta „nightmare“: Rodiče mají dvě děti. Jedno dítě se jmenuje Vlasta, druhé dítě René. Jaká je pravděpodobnost, že:
K výsledku je možno dojít, jak je každému jasné, geometricky, pomocí Gauss-Bolyai-Lobačevského prostoru, ale lze jej zjistit i empirickou metodou plození, rození a pozorování dětí.
4. Spočítejte, kolik se musí narodit minimálně dětí, abyste mohli s jistotou říct, že takové jevy nastanou najednou.
Nidzo #79
Tohle mi připomíná diskuzi s matikářkou ohledně pravděpodobnosti hodem kostkou. Už nevím, co to přesně bylo, ale něco ve smyslu, že když budu mít 3 kostky jiné barvy, tak je jiná pravděpodobnost, že hodím 3× šestku, než když budu mít kostky stejné barvy (určitě to budete znát, tak kdyžtak upřesněte).
Ona tvrdila, že matematicky je pravděpodobnost jiná a já jí tvrdil, že matematicky možná, ale tím pádem soudruzi udělali někde chybu, protože statisticky to musí vyjít stejně.
David Grudl #80
Autorem této hádanky je Leonard Mlodinow a publikoval ji v knize The Drunkard's Walk. Viz článek Pavla Housera na Science World.
#61 binarniladine, varianta holka-holka ve výpisu přeci je, chybí pouze kluk-kluk, protože to odporuje zadání.
Roj #81
#79 Nidzo, Klidne se pohadam s matikarkou nebo s tebou, ale bez přesného zadani to nepujde ?
MT #82
Řešení příkladu 2:
Nechť pohlaví prvního a druhého dítěte jsou nezávislé. Nechť pravděpodobnost narození chlapce = pravděpodobnost narození dívky = 1/2. Nechť se dcery nesmí jmenovat stejně.
Pravděpodobnost, že rodiče dceru pojmenují jako Kunhuta, označme:
alfa … jde-li o první dítě
beta … jde-li o druhé dítě a prvním dítětem byl syn
gama … jde-li o druhé dítě a prvním dítětem byla dcera (ne-Kunhuta)
Tyto pravděpodobnosti můžou být různé, jak naznačuje #62 Antirux.
Značení: S = syn, K = Kunhuta, NK = ne-Kunhuta
Pravděpodobnosti výstytu jevů:
S, K … beta / 4
K, S … alfa / 4
K, NK … alfa / 4 … příznivý případ
NK, K … (1-alfa)*gama / 4 … příznivý případ
Pravděpodobnost dvou dcer tedy je (= příznivé / vše):
(alfa + (1-alfa)*gama) / (2*alfa + beta + (1-alfa)*gama)
Pokud budu předpokládat, že alfa = beta = gama, vychází mi:
(2*alfa – alfa2) / (4*alfa – alfa2)
Pokud je pravděpodobnost, že rodiče svou dceru pojmenují Kunhuta, mizivá (neboli pokud jde alfa k nule), je limitní pravděpodobnost 50 %.
Howgh.
Roj #83
#82 MTe, wow! K tomu nelze dodat nic jineho.
MT #84
Tak přeci jen ještě dva dodatky:
MT #85
A ještě třetí dodatek ?
Jediné, co by mohlo vychýlit výsledek výrazně od 50 procent, je případ, kdy alfa je zanedbatelně malé a beta a gamma jsou řádově rozdílné.
Vezmu případ, který popisuje #62 Antirux – tedy že jméno Kunhuta se maximálně tak druhé dceři, tedy alfa a beta jsou směsně malé a jedině gamma stojí za pozornost. Pak se bude výsledek blížit
gama / (beta + gamma)
což pro malé beta a velké gamma půjde k jedničce, tedy k pravděpodobnosti 100 %. A je to logické, že to tak vychází – je-li jedna dcera Kunhuta, tak podle #62 Antirux to musí být téměř jistě až druhá dcera, tedy je skoro jisté, že jsou dvě dcery.
mČ #86
MT: Opravdu pěkná práce.
#80 Davide Grudle, Mlodinow hádanku publikoval, ale je mnohem starší (a nepochybně i ve verzi s Kunhutou). BTW, dlouhý (Firefoxem) nezalomitelný řetězec ve #28 Ondřej Tomek poněkud rozhazuje layout; nebylo by lepší overflow pro jednotlivé komentáře?
mČ #87
#86 mČi, Aha, systém automaticky přidá za číslo v hranatých závorkách dvojtečku – takže když ji tam napíšu sám, vypadá to blbě, a když chci na něco odkázat bez dvojtečky, taky.
David Grudl #88
#86 mČi, díky za upozornění, komentář fixnu, ale opravu nechám na vývojářích Firefoxu ;) (HTML soft hyphens are now supported)
Kirara #89
Konečně jsem si to dokázal představit a to za pomoci toho článku ze Science Worldu.
Pokud je pravděpodobnost narození holky/kluka stejná (tj. 50%) pak celkem logicky pravděpodobnost dvou kluků nebo dvou holek je 25%. O tom se tuším ještě nikdo nehádá.
Tak vezmeme do místnosti 100 párů, které zplodili 2 děti. Řekneme následně, že ty co nemají alespoň jednu holku tam nechceme a logicky jich čtvrtina odejde (25 párů). Stejným principem můžeme tvrdit, že čtvrtina jich má dvě holky. Zbylých 50 párů má tedy kluka a holku (takhle na pořadí nezáleží). A je to tedy nakonec dva ku jedné.
Bez ohledu na to jak nelogické někomu může přijít, že ve výčtu možností záleží na pořadí.
A Kunhůty si nechám na jindy…
Martin Kopta #90
A jak víme, že správné řešení je správně?
Myslím, Davide, že bys nám to měl ukázat názorně v praxi.
David Grudl #91
#64 bongo-bongo, píše:
S tím souhlasím.
Tady je chyba – pravděpodobnosti se také liší. Šance, že se jedna ze dvou holek jmenuje Kunhůta (A), je vyšší, než že se tak jmenuje právě jedna holka (B, C).
To je zase docela jiná úloha.
Jago #92
#82 MTe, Se zájmem jsem si přečetl celou diskusi a tomuto řešení musím přece jen něco vytknout: Je to správné řešení jiné úlohy, protože v řešitelově formulaci je přidána podmínka „nechť se dcery nesmí jmenovat stejně“, která se v původním zadání nevyskytuje. Případ, že by se v jedné rodině vyskytovaly dvě dcery Kunhuty, je sice vysoce nepravděpodobný, ale možný je: jedna nebo obě Kunhuty jsou z prvního (prvních) manželství a druhý z partnerů ji (je) adoptoval. A to nemluvím o tom, že dneska dítě nemusí mít právě jedno jméno (to další může získat při biřmování) a v zadání se nehovoří o tom, které jméno to má být. Prostě taková (ne)normální rodinka. :)
BTW: Úvahy, že nějaká hodnota je velice malá, takže ji lze zanedbat, se hodí tak leda do fyziky – „zanedbej, co se ti nehodí, ale nesmí ti na to nikdo přijít“. Ale jinak to bylo pěkné.
Láďa #93
#82 MTe, Stejně jako MT uvažuji pouze rodiny, kde mají dcery různá jména. Kromě toho předpokládám, že pravděpodobnosti alfa, beta, gama jak je definoval MT jsou takové, že platí:
beta = alfa
Odůvodnění: předpokládám, že prvorozená dcera se bude jmenovat Kunhůta nezávisle na tom, zda má už rodina syna.
gama = alfa / (1 – alfa)
Odůvodnění: vzorec vyjadřuje, že pravděpodobnost, že druhorozená dcera se bude jmenovat Kunhůta je zhruba stejná, jako pravděpodobnost, že se tak bude jmenovat prvorozená dcera.
Splnění tohoto předpokladu se dá ilustrovat např. takto:
Mějme dívčí jména J1, J2, … , J500, každé s pravděpodobností (váhou) alfa1, alfa2, …, alfa500, že se tak bude jmenovat prvorozená dcera. Pokud rodiče zvolí jméno Jk pro svou prvorozenou dceru, pak jim pro druhorozenou dceru z „nabídky jmen“ „vypadne“ váha Jk. Pokud volí jméno druhorozené dcery z ostatních jmen a používají stejné váhy jako předtím, pravděpodobnosti se změní proto, že jsou děleny nižší celkovou váhou zbývajících jmen. Dá se odvodit, že tato metoda vede k výsledku
gama = alfa / (1 – alfa).
Po dosazení do vzorce, který už uvedl MT dostaneme, že pravděpodobnost je 1/2 a to bez ohledu na alfa.
martin #94
Ahoj řeším první otázku (jak pořeším, začnu pak i druhou:-), pročetl jsem i Wiki… ale nějak stále nechápu to, proč se v nabízených možnostech uvažuje k-h a h-k (h-holka, k-kluk) – tedy bere se v potaz poradi detí… ale pritom je zminena pouze jedna varianta h-h… již to nastínil koment #61 binarniladin … (přece může nastat h1-h2 a taky h2-h1…)
prostě když všechny varianty, tak bych uvažoval stejně jako binarniladin 4 moznosti…
holka kluk
kluk holka
holka holka
holka holka
!!!
Jaký je potom výsledek..?
*Určitě „logičtější“ (=pochopitelnejsi) jak 33 % …;-) *
Vysvětlete mi prosím, proč „druhou“ variantu holka-holka zanedbáváme?
Villem #95
#94 martine, Hmm takto položená otázka je velice zákeřná (nic ve zlém). Tady se jedná o problém pravděpodobnosti. Skusím to podat z jiné stránky.
Nejprve nudná teorie:
1) Když sečteš pravděpodobnosti všech možností MUSÍŠ dostat 1 (, nebo 100%). Pokud dostaneš míň neco ti chybý, pokud víc máš tam neco navíc.
2) Pravděpodonost posloupnosti se spočítá součinne, jednotlivých pravděpodobností (pokud se jednotlivé hodnoty v posloupnosti vzájemně neovlivňují, což se v tomto případě neděje.
A teď k věci, jelikož je pravděpodobnost narození daného pohlaví 0,5 (tedy 50%), lze podle vzorce spočítat pravděpodobnost narození určité kombinace např:
P(H, K) = 0,5 * 0,5 = 0,25
nebo
P(H, H) = 0,5 * 0,5 = 0,25
Pokud si dopočítáš i ty zbylé kombinace (K, K a K, H) a pravděpodobnosti sečteš, tak dostaneš 1. Tedy na žádnou další kombinaci tam není místo.
Na závěr dodám, že zápisem P(H, K) myslím pravděpodobnost, že se první narodí děvče a pak kluk. Doufám že sem ti pomohl.
Honza #96
#95 Villeme, Klasická podmíněná pravděpodobnost, čili pokud P narození kluka resp. holky bereme jako 50% resp. 50% (ve skutečnosti cca 46% resp. 54%), tak výsledek je 0,5*0,5 čili 25%. Tohle se učí už na gymplu ne? :)
Jago #97
#95 Villeme, Jenom bych rád upozornil, že by bylo dobré používat exaktní zavedenou terminologii. Co je to „pravděpodobnost posloupnosti“ a proč nazývat variace (s opakováním) kombinacemi?
David Grudl #98
#94 martine, Ta varianta se nezanedbává, je obsažena ve variantě h-h z řešení.
Totiž, aby bylo řešení matematicky triviální, tedy aby se dala pravděpodobnost spočítat jako podíl příznivých variant ku všem variantám, je nutné aby všechny vyjmenované varianty měly stejnou „váhu“ – tj. pravděpodobnost – a byly navzájem disjunktní.
Problém je v tom, že tohle se nedá moc dobře intuitivně odhadnout. Často nezbývá, než se k tomu postupně dobrat.
Zkus si odpovědět na otázky:
Pokud ti tohle připadá samozřejmé, tak budeš souhlasit i s rozpisem
Tento výčet splňuje podmínku stejné pravděpodobnosti všech bodů a jejich disjunkce. Součet je 100 %. Takže je záhodno se ho dál držet. Pokud zadání říká, že bod 4) máme vyškrtnout, tak to můžeme s klidným svědomím udělat. Zbývající body jsou i nadále stejně pravděpodobné a disjunktní. A můžeme snadno spočítat poměr.
Po vyškrtnutí čtvrtého bodu se však pravděpodobnost každého z nich zvýší z 25 % na 33,3 % – tak, aby součet byl opět 100 %. Nemůžeme ale body rozšiřovat o další položky, protože všechny varianty už jsou vyčerpané. Můžeme pouze nějaký bod rozdělit na podbody (například H-H na H-H + H-H, jak jsi psal). Ale tím se nic nemění – obě nově vzniklé H-H mají pravděpodobnost 33/2 %.
awarus #99
co to tady tak řešíte, vždyť je to jednoduché :)
tak a doufám, že jsem si neudělal ostudu!!! ?
bos. #100
1/ 25 %
2/ 100 %, druhou dcerou je Eliška Přemyslovna.
marek #101
je zajímavé kolik se tu najde špatných řešení i když je nahoře řešení správné :)
#73 Davide Grudle, tak to stačí zjistit kolik holek „prošlo rukama“ a kolik je na straně žaloby :)
Lucy #102
Ááá, těšila jsem se na řešení, protože jsem na to sama nepřišla a ono nikde.. vrrr :D
david #103
Tyhle hádanky se periodicky opakujou, naposled to byla ta s těma autama jestli se vyplatí měnit výběr nebo ne (u pixyho tušim?)
Gerlige #104
#9 tasselhofe, Nezbývá, než souhlasit, protože s tím jak je otázka položená („Předpokládejme prosím, že dcer i synů se rodí stejně.“) ze zadání vyplývá, že na světě je stejný počet narozených mužů a žen, tedy pravděpodobnost na pohlaví jakéhokoli narozeného dítěte je 1:1. (Takže rodiny s 4 dívkami a rodiny zase jen 4 chlapci nejsou nijak vyloučeny).
Proto, když uvažujeme jen závyslosti uvedené v zadání, musí být šance na situaci, kdy jsou obě děti v rodině dívky, 50%.
Ondra O. #105
Jen s tou Kunhutou – že jste studoval na matfyzu u Kryla?
David #106
Pravdepodobnost je v obou pripadech stejna. V jednom pripade sice vime, ze dcera se jmenuje Kunhuta, ve druhem pripade jeji jmeno nezname. Ale je jiste, ze nejake jmeno ma. Cim se dostavame ke stejnemu reseni jako kdyz se jmenuje Kunhuta…
Nebo myslis, ze kdyz si prvni dite nepojmenuju, zmeni se pravdepodobnost pohlavi druheho ditete?? lol
Arnošt #107
mam teorii myslim ze je to mozna spatne ,ale stejne to napisu v 1 otazce je pravdepodobnost 0% protoze pocet dcer a synu se rodi stejn ,nebo je tam jedno znich je dcera xD a ve 2. otz. je pravdepodobnost
75%
Vratislav #108
Tento článek byl uzavřen. Už není možné k němu přidávat komentáře.