Hádanka skořápkáře

no já bych si tipnul, že to je psychologická taktika – tedy když dotyčný tipuje špatně, tak další kalíšek neukazovat a prostě otočit ten, na který ukázal
A když ukázal správně, tak se jej pokusit zvyklat, pokud možno jestli dotyčný váhal mezi dvěma, tak zdvihnout ten třetí.

jinak ale skořápkáři mají hlavně jiné finty ;)

#1 noname: : není v tom žádný špinavý trik ani žádná psychologická fin­ta.

aha, pardon, já myslel že se bavíme o maximalizaci zisku pro skořápkáře ;)

#3 noname: jak už to tak ve slovních úlohách bývá, všichni zúčastnění jsou naprosto poctiví a jediné triky, které používají, jsou triky s čísly ;)

Snažil bych se označit kalíšek o kterém nejvíce předpokládám, že pod ním kulička není. Skořápkář mi pak odhalí druhý pod kterým kulička není a pod tím třetím by měla být.

Přesně tahle úloha se dělala na matfyzu v prváku hned první cvičení z programování :))

Napadá mě leda od začátku sledovat prázdné skořápky(prav­děpodobnost 2/3 místo 1/3), na jednu pak ukázat, druhou nám odhalí skořápkář a pak je jasné, kde kulička je. Ale je to takové hloupé.

#5 habendorf: vycházej z toho, že skutečně absolutně netušíš, kde kulička je. Po „zásahu“ skořápkáře má každý kalíšek pravděpodobnost 1:3. Skutečně není možné kuličku sledovat, protože skořápkář si ji podhazuje mezi kalíšky pod rukou (myslel jsem, že je to všeobecně známo).

Ta úloha v původním znění se vůbec skořápek netýká, ale aby vás nesvádělo googlení, tak jsem ji takto pozměnil. 

Na FI MU se přesně tato úloha řešila v předmětu Náhodnostní algoritmy a výpočty. Dobré procvičení selského rozumu 

To je smutný, ale asi jsem blbej. Mně selskej rozum říká, že si vždycky budu vybírat s pravděpodobností 50% a s tím nic neudělám 

dopytle, za 3 dni dělám zkoušku ze statistiky a tohle vůbec ani netušim !

… i když já osobně bych to udělal takhle … BUDE TO ALE ZNÍT ÚPLNĚ DEBILNĚ … hned jak ukáže tu skořáku co pod ní nic není, tak bych uplně nahodile vybral jednu z těch dvou co zbyly, protože v tu chvíli už vybírám 1 ze 2 a ne 1 ze 3 – tudíž ta pravděpodobost je vyšší než kdybych neprovedl ten 2. nahodílý výběr

#8 David Grudl: Aha, takže ty to bereš čistě jako náhodný jev. V tom případě je třeba po odhalení změnit označení kalíšku z původního na zbývající (pravděpodobnost 2/3 oproti 1/3).

No, jsou tři kalíšky. Skořápka je buď po tím, co si vyberu – to je jedna možnost – nebo pod jedním ze zbývajících dvou – to jsou dvě možnosti. Takže, pokud se nepletu, nejlepší by bylo nějaký kalíšek vybrat a po odebrání jednoho prázdného kalíšku změnit svůj výběr na druhý kalíšek. Větší pravděpodobnost by měla být, že skořápka bude pod kalíškem, který si na začátku nevyberu.
Snad sem to trefil =)

Trochu to ještě rozepíšu:

1. trvání na původním rozhodnutí vede k 1/3 pravděpodobnosti výhry, to je jasné
2. změna rozhodnutí vede k 2/3 pravděpodobnosti, protože
   1. 1 – 1/3 = 2/3
   2. vlastně tipuju „kulička je v jednom z těchto dvou kalíšků“

Připadá mi to celkem jasné.

#13 Martin: Já bych to zkusil ještě trochu přesněji. Pod skořápkou, kterou si zcela náhodně vyberu jako první, je kulička s 1/3 pravděpodobností. Ergo pod zbývajícími dvěma s 2/3 pravděpodobností. Ty zbývající dvě nám skořápkář ale zredukuje na jedinou, takže jsme ve stavu, že ukazujeme na skořápku, kde je kulička v jednom případě ze tří a vedle je skořápka, pod níž je kulička s pravděpodobností dvojnásobnou. Takže nám logika velí ukázat na tu druhou. S touto strategií ve dvou případech ze tří vyhrajeme. Q.E.D.

#14 habendorf: ok, než jsem to napsal, byl's rychlejší :)

Nebudu zde psát řešení, které znám, ale nevymyslel jsem si ho (původně ta hádanka byla o televizní soutěži a automobilu za zavřenými dveřmi).
Chtěl bych jen upřesnit, že skořápky nejsou podvodnou hrou z důvodu nerovných sázek (na šanci 1/3 se vyplácí 2:1). Skořápky nejsou podvodnou hrou ani z důvodu, že skořápkář nepozorovaně prohazuje kuličku mezi kalíšky.
Podvodné jsou, že v okamžiku sázky není kulička pod žádným kalíškem. Proto volba ze tři nebo ze dvou (takzvaná oprava po zdvojnásobení sázky) dává stejnou šanci – 0%. Kuličku vrací skořápkář pod kalíšek, až když ukazuje „poctivost“ své hry.

#15 pixy:
Moje verze selského rozumu mi tvrdí, že mám šanci 50:50. Situace mi připadne stejná, jako by skořápkář jeden kalíšek odstranil předem a já si vybíral ze dvou zbývajících.

No, myslím, že nějaká podobná otázka (i s vysvětlením) zazněla v knížce Podivný případ se psem od Marka Haddona.
Výsledek hlásit nebudu:)

#18 Martin Keder: Šance 50:50 by byla, kdyby žádný třetí kalíšek neexistoval. To by ses rozhodoval mezi dvěma a bylo by to jasný. Jenže díky třetímu kalíšku je možností víc. Je šance 2/3 (jestli to správně říkám), že skořápka nebude pod kalíškem, který vybereš. Takže je větší šance, že skořápka bude pod kalíškem, který zůstane a který jsi nevybral. Zkus si ty tři situace představit (3 skořápky = 3 situace, vždy si vyber stejnou skořápku a třeba to uvidíš =) )

#20 Martin:
Jenomže já teď vybírám ze dvou kalíšků. A protože nevím, pod kterým je kulička, můžu na svou předchozí volbu s klidem zapomenout.

#21 Martin Keder: Ne. Ty hned na začátku vybíráš mezi jedním nebo dvěma kalíšky. Doporučuji přečíst si (16).

#22 habendorf: No to si sice vybírám, ale potom si vybírám pouze ze dvou kalíšků. Ať jsem předtím vybral co jsem chtěl, teďka si vybírám jeden ze dvou, pravděpodobnost zásahu mám padesát procent? Jakto, že to tak není. V čem se pletu?

#23 Lupen: Podľa mňa v tom, že si na prvý pokus mohol správne uhádnuť preto je to viac ako 50%

#23 Lupen: Zkus si tu úlohu oprostit od balastu a pložit si tu otázku takto:

„Buď je kulička pod kalíškem A, nebo pod jedním z kalíšků B a C. Co si vyberu?“

Pokud si vybereš druhou možnost, máš 2/3 pravděpodobnost výhry. A skořápkář ti pak už ukáže sám.

#25 habendorf: Matematicky to chápu a rozumím tomu. Selský rozum mi nějak zaostává. Podle selského rozumu ta pravděpodobnost je padesát na padesát.
Zkusil jsem si to, vzal jsem si skořápky, je to tak jak říkáš, ta pravděpodobnost je skutečně dvě třetiny, já jsem prostě jenom blbej, že to nedokážu pochopit.

#25 habendorf:
Už to taky tak vidím. Mezitím jsem si taky napsal simulátor a ten to potvrdil. Zdálo se mi, že první a druhá volba spolu nesouvisí, ale není to tak.

Myslím, že rozhodnutie treba potom zmeniť, kedže s pravdepodobnosťou 2:3 som označil zle. Správna možnost je skôr jedna z tých čo som neoznačil. Takže ak mi jednu (nesprávnu) zoberú, je to jasné…

Výsledná pravdepodobnosť, že touto technikou trafím je (myslím) 2:3.
Ak by som voľbu nezmenil, tak tým že jedna možnosť zanikne sa pravdepodobnosť zvýši len na 1:2.

…aj keď to bude asi blbost, kedže to kúsok nesedí (1:2 + 2:3 != 1) Štatistiku som neštudoval, ale príde mi to tak logické…

to dgx: Ak by bol zájem, mám tiež dobrú „hádanku“ 

Ač jsem tomu ze začátku nemohl uvěřit, je to tak. Zkoušel jsem nasimulovat jedno rozhodnutí (totiž nejdříve jedna skořápka a poté jiná) při třech kombinacích umístění kuličky a opravdu dvakrát ze třech pokusů to vyjde.

Hold jsem nebyl obdařen takovými závity :o)

Lidé se mění, témata zůstávají.
jojo… ale ta diskuse uz nema ty grady jak kdyz jste s Arthurem zabejcene trvali na spatnym reseni (-;

Nevím, zdali se to tu už vyřešilo, ale myslím, že by to mohlo být takto:

Nejdřív hádař vybírá ze tří kalíšků ten, kde je kulička, šance je 1:3. Když mu ale skořápkář ukáže kalíšek, pod kterým nic není, a hádař změní volbu, tak mění i původní strategii a fakticky hledá ten kalíšek, pod kterým nic není – a tam je pravděpodobnost 2:3 – tudíž větší..

A je defacto hotovo, protože pokud hádař původně vybral prázdný kalíšek a změní, najde kuličku (2 případy), pokud původně vybral kalíšek s kuličkou a změní, nedostane nic (1 případ)..

Nebo se pletu?

#26 Lupen: Kdyby tu jednu skořápku odebrali a já bych zapomněl, na kterou skořápku jsem prve ukazoval, a začínal bych tak úplně od píky jen se dvěma skořápkami, pak by to skutečně bylo 50:50.

Ale já si ji pamatuju a vím, která to byla. A vím, že měla (a pořád má) pravděpodobnost 1/3. Na tu druhou zbývají 2/3.

Celá finta je v tom, že ten skořápkář ví (nebo se podívá) a odebere tu nevyhrávající. Odebere cíleně prázdnou, čímž zdvojnásobí pravděpodobnost té druhé. Kdyby odebral jednu z těch zbylých dvou skořápek náhodně, tak by té druhé zůstala 1/3 pravděpodobnost, že pod ní kulička zůstala (a 1/3 pravděpodobnost, že kulička už tam vůbec není). Ale když se podíval a vědomě vybral prázdnou, víme nadále jistě, že kulička je na stole – a protože bylo pravděpodobnější, že byla pod jednou z těch dvou skořápek, je pak také pravděpodobnější, že je pod tou, co z těch dvou zbyla.

A do třetice ještě jinak – stačí změnit pořadí úkonů. 1. máš rozdělit tři skořápky na jednu samotnou a jednu dvojici. 2. máš si vybrat, jestli je kulička pod tou jednou skořápkou, nebo pod zbylými dvěma. 3. logicky i vybereš, že spíš bude v té dvojici. 4. skořápkář odstraní z té dvojice tu prázdnou. — Jednoduché a zcela logické. A stačí prohodit kroky 3 a 4, které na podstatě nic nemění a dostaneme původní zadání.

#30 zirafka: Laskavost nám prokažte a na tu diskusi nás odkažte! :)

#33 #13: my nesmime ani odkazovat. (-;

přesně tohle to jsme dělali loni na programování :) nechápal jsem to, ale když mi po miliónu zkoušek vyšel výsledek tak jsem musel uvěřit že za tím něco je

#34 zirafka: Sleduje nás baseballová extraliga? :)

jee, to je pekne – zrovna dnes jsem psal kompozici (jsem na gjk ve tretaku) a jak jsem se tak vcera pripravoval, googlil jsem Bayesovu vetu. A nasel jsem tento paradox, hned jsem to posilal svoji matikarce, ktera z toho byla tak nadsena, ze to da pristim tretakum a zaradi to maturitnich otazek. A ten samy den dgx vyplodi tohle…
Svet je maly a o nahody zde neni nouze : )

Hm.. tak mi vychází, ze nejlepší strategií je vždy si zvolit po odebrání prázdné skořápku tu druhou, pravděpodobnost, že se strefím na kuličku, je 1/2. V opačnám případě (zůstávám u svého původního výběru skořápky) je pravděpodobnost výhry jen 1/3.

#38 petr: Erratum: u té vyhrávající strategie skutečně nemá být pravděpodobnost 1/2, nýbrž 2/3…

#39 petr: A to sa da este mierne vylepsit tym, ze sa budem vzdy snazit najprv ukazat na tu o ktorej som najviac presvedceny ze pod nou gulicka nie je. 

Nemůžu si pomoct, vím že by pravděpodobnost měla vyjít 2/3, ale selský rozum se mi pořád snaží napovídat, že je to 50:50. Ať udělám cokoli, zůstane mi jeden kalíšek s kuličkou a jeden bez kuličky.

Jako první mě napadlo ukázat na kalíšek, kde si myslím že kulička není, ale to už bylo vyvráceno. Divná úloha.

#30 zirafka: a ještě s Pixym!

Pro úspěšné řešitele: tahle úloha je, jak jste si asi všimli, velmi neintuitivní. Správnému řešení se zdráhá uvěřit. Troufnete si někdo odhadnout, proč tomu tak je?

Takže, jako správný čech-sedlák bych to měl řešit počesku 

čili:

Vyberu si jednu skořápku, skořápkář mi odhalí jinou, která správná není, pak vykřiknu něco ve smyslu: „Podívejte na toho ptáčka támhle!“ Využiji chvilku skořápkářovi nebdělosti a podívám se pod jednu ze zbylých skořápek, když se skořápkář otočí zpátky, vyberu skořápku podle toho, zda pod odkrytou skořápkou kulička byla, nebo vyberu tu druhou. A výhra je v kapse.

Neberte to vážně, jsem prostě zoufalej.

#42 David Grudl: Statistika DGX, statistika.. Úplně nerozumím otázce, jak to myslíš?

#42 David Grudl: Podle mě to má obrácenou logiku. V této úloze hledám kalíšek, kde ta kulička není, a to jsou 2/3, protože jakmile se netrefím, tak po odebrání jednoho kalíšku mám 100% šanci, že to trefím 

Já bych použil ten starý trik s magnetem…

#45 Petr: tzn. jakmile se netrefím, tak jsem vyhrál (aby to bylo srozumitelnější 

#47 Petr: Jinými slovy:

Kdy vyhraju? Pokud si poprvé vyberu prázdnou skořápku. (Důkaz: ukážu na prázdnou, tedy zbude prázdná a ta s kuličkou, skořápkář tu prázdnou odstraní a já si volím kuličku).

Kdy prohraju? Pokud si napoprvé vyberu kuličku (Důkaz: zbudou dvě prázdné a ať skořápkář odstraní kteroukoli, vybírám si tu druhou prázdnou).

Prázdné jsou dvě skořápky, kulička je jen v jedné, takže prohraju (tj. ukážu poprvé na kuličku) jen v 1/3 případů. Ve 2/3 případů vyhrávám (tj. ukážu poprvé na prázdnou).

#42 David Grudl: To bylo tehdá s tím kolem?

A imho řešení se člověk zdráhá uvěřit prostě proto, že ve finále má volit mezi dvěma stejnými skořápkami, o nichž zdánlivě nic neví – na což intuice automaticky reaguje: „50 na 50“. Jenže ty skořápky vzhledem k předchozímu chování stejnou pravděpodobnost nemají. Do pravděpodobností neznámých faktů zasáhl někdo, kdo je znal, s jistotou do situace zasáhl a pravděpodobnosti tak změnil.

Mimochodem mě napadá, že pokud to někomu náhodou pořád ještě rozum nebere, možná by pomohlo představit si, že těch skořápek je sto. Kulička je pod jedinou z nich. Hraje se tak, že si vyberu jednu skořápku, a skořápkář ze zbylých 99 odstraní 98, které jsou zaručeně prázdné, a nechá tam jednu. A z těch zbylých dvou si můžu znovu vybrat. Kde je nejspíš ta kulička – pod tou, kterou jsem si vybral náhodně z původní celé stovky, nebo pod tou jedinou ze zbylých 99, která se zatím neukázala jako prázdná? Nevěříte-li, že pod tou první skořápkou je kulička jen s 1% pravděpodobností a na 99 % bude pod tou druhou, budete už nejspíš beznadějný případ. :)

Tak myslím, že teď už můžu profláknout i klíčové slova: Monty Hallův problém.

#49 pixy: s kozou

A nedame uz taky ten vtip o blondynkach?

Tak matematicko statisticky je to jasné a je výhodnější vybrat tu druhou než původní.
Ovšem co když máme jenom jeden pokus a na správném výběru třeba závisí život osoby vám blízké? Zajímalo by mě kolik lidí by svou volbu neměnilo a zůstalo u první volby a spoléhalo na intuici/štěstí/ná­hodu a kolik lidí by kvůli lepší pravděpodobnosti zvolilo tu druhou možnost.
Pak je to rozhodnutí mnohem težší a pravděpodobnost jde kvůli omezenému výběru stranou. Víceméně je to těch 50/50 s tím, že by si to špatné rozhodnutí asi dosmrti vyčítali, ať se rozhodnou jakkoli.

#49 pixy: ‚pokud to někomu náhodou pořád ještě rozum nebere‘ – a ještě jiná varianta: 1. vybranou skořápku odstraním (zavrhnu) – v tomto okamžiku jsem s 1/3 pravděpodobností prohrál. No a s (1 – 1/3) pravděpodobností to druhé. Vyhrál :)

#19 Gekon: presne, taky me to napadlo.. hned se tam du podivat JOKINGLY

#50 David Grudl: No týýý vole, tak na to jsem úplně zapomněl. No to je žrádlo sledovat s odstupem své vlastní zarputilé scestné myšlenkové pochody a zaryté přesvědčení o vlastní pravdě. Nesmírně poučné. Nejde mi do hlavy, jak jsem mohl bejt tehdy taková hlava skopová, když tentokrát mi to přišlo tak jasný… Pane jo!

A jinak díky za link, Monty Halla jsem neznal.

#52 Ondra: Nemůžu si pomoct, ale pravděpodobnost je pořád 1:2, ne 50:50. I kdybych si za těma dveřma představil belzebuba. Teda ve skořápce.

aha, když jsem si to přečet na tý wikipedii, tak už jsem pochopil… předtím sem tady moc nechápal jak to kdo myslí.

Teď mě napadlo (asi je to jen obměna), ale že při prvním výběru mám větší pravděpodobnost, že zvolím prázdnou skořápku, tudíž mám pravděpodobnost 2:3 že jsem zvolil prázdnou, a pokud tedy zvolím zbylou, můžu na stejnou pravděpodobnost 2:3 zvolit skořápku s kuličkou.

Ale asi už je to všem jasný…

Nejlepší metoda je tipovat nejmíň pravděpodobnou možnost. Vážně to funguje.

Tak na tomhle chytáku se mi už povedlo vyhrát pár piv Akorát že jsem to podával s televizní soutěží, autem a dvěma kozama…

Tohle bylo uz v tune prirucek pro „kouzelniky“ resp. v knihach o odhalovani triku. Par veci je i na WiKi. V TV s tim byla i show, kdy za 1 dvermi byl osel. Divak si zvolil jedny dvere, pak modertor jedny ze zbyvajicich otevrel a .. stejny postupv.

V TEHLE DOBE, kdy jsem nevedel o co jde, byl muj postup nasledujici: Myslim si jedno cislo 1–3 (rekneme 2). Ale jako moznost to nereknu a schvalne reknu cislici 1 (rekneme ze reknu vzdy o jedno nizsi 2->1, 1->3, 3->2). Pak se podivam, jestli mi moredator me „tajne“ dvere/skorapku odstranil nebo ne. Kdyz mam v duchu vybrano 2, a reknu 1, tak se odstrani 2 nebo 3. Pokud se odstrani 3, tak si reknu svou volbu, pokud mi odstranil moc vytouzenou 2, tak muzu rici 1 nebo 3.

Tohle byl muj plan pri precteni o co jde. Po docteni i zbytku no … (ale to uz necham na vas), jen pak editujte clanek a doplnte jeho „reseni“ ;)

#60 Xsoft: Po precteni diskuze bych se nedivil, kdyby to jeste nekdo nepochopil i kdyz #49 pixy: je celkem dobra.

Tak me napadlo jeste jedno vysvetleni:
je tata a ma dve dcery, treba Janu a Petru. A je v one soutezi o auto (nebo pred skorapkama, whatever). A chce vyhovet obema holcickam. Jana si vybrala skorapku 1, a Petra zase skorapku 3. (sance 2:3 .. vybiraji 2 ze 3 moznosti). Tata tedy rekne, ze chce moznost 2. Skorapkar/mo­derator rekne, ze treba skorapka 1 je prazdna, takze Jana by nevyhrala (i kdyby rekl tata na zacatku 1 a trval na tom). A protoze nema cenu menit rorhodnuti na 1 (protoze tam nic neni), tak zvoli moznost 3, coz bylo prani Petry.

Jeste jednou, 2 jeho holky si rekly 2 ruzrne skorapky. Tata zvolil to, co si nevzala ani jedna z nich a skorapkar jednu moznost z tech 2 co vybraly, oznacil za spatnout. Tim padem se bere ta to druhe co zbylo.

Lepsi?

páááni teda když jsem si přečtl diskuzi v tom starším článku o kozách – fakt teda mazec… pixy, dgx, arthur dent – všichni svorně tvrdí, že změnou si hráč nic nepomůže :oD a obviňují cvičícího na matfyzu z DILETANTSTVÍ (ano, s capslockem:o)) jen proto, že je přesvědčují o opaku :o)

[11320] Spolu s tymto clankom a diskusiou v nom. Paradna ukazka kruhov na hladine… historie.

http://www.stat.sc.edu/…keaDeal.html

Nechce se mi číst komentáře, možná už to někdo zmínil.
Nad skořápkářem vyhrát nelze, ani když ukážeš na správný kalíšek. Není tam totiž sám a s významnou výhrou tě jeho komplicové stejně nenechají odejít…

#63 Roman: to patří k mým oblíbeným diskusím, které si rád znovu a znovu s chutí přečtu. Fakt! Ale neopakujme se, už jsme to dnes řešili, viz #50 David Grudl:, #55 pixy:

#65 @Teo: s významnou výhrou? Ale to by musel být hodně špatný skořápkář. A takoví nemají komplice ;)

#56 #13: to prece neni pravda…
kdyz se to zredukuje jen na jeden pokus, jak sem uvedl v prikladu, tak je proste sance 50/50
statistika je vicemene prumer vysledku hodne pokusu a to vychazi 1/3.
me by jen zajimalo, kolik lidi by si opravdu vybralo tu druhou ikdyz vi ze maji jenom jeden pokus, takze statisticka pravdepodobnost v tom nehraje roli

nebo jeste jinak aby to nevypadalo, ze sem to nepochopil (ikdyz priznavam, ze az po precteni prvnich komentaru)..

kdyz si z 10 pokusu pokazde tipnu, kde je kulicka hned napoprve spravne, tak je blbost ukazovat na ten zbyvajici…ikdyz ma vetsi pravdepodobnost
(no holt studentske leta stravene na rulete daji cloveku vic nez vsechny hodiny statistiky :))

#66 David Grudl: Cital som tu diskusiu po kuskoch a .. (ale to je fuk) proste nepozorny citatel. O tych kruhoh by som sa aj rad rozpisal na inych prikladoch ale akosi sa mi vcera nechcelo a teraz rano zas nemam cas. Mmm..

#68 Ondra: Ondro, mám pocit, že asi chápeš jinak termín pravděpodobnost. Ten existuje nezávisle na tom, kolik máš pokusů, jak jsi se vyspal nebo jestli jde o život #52 Ondra:. Existuje nezávisle a platí naprosto vždy.

#69 Roman: naváhej a piš!

#62 Trupík: kdepak jsi to nasel? Ja jsem googlil a nevygooglil

#70 David Grudl: No asi jo. Já jsem chtěl spíš vyjádřit, že ikdyž je statistická pravděpodobnost 2/3, tak „ve skutečnosti“ je ta pravděpobobnost prostě většinou nižší. (Zvlášť když jde o hazardní hry. Jako skořápky nebo auta za dveřma.)

#71 Whitek: A co takhle prozkoumat komentář #50 David Grudl:? ;)

#72 Ondra: ty to myslíš takhlenc, viď?

#74 David Grudl: Nojo :)

Jak totiž ukazují statistiky, někteří lidé mají větší pravděpodobnost, že se jim něco stane, než by odpovídalo matematickému propočtu.
A tím bych to uzavřel.

#73 #13: kaju se, sorry, tohle jsem vygooglil ale hned zas zahodil.
Moc pekne : ))

Zrovna na toto tema jsem psal jednu semestrálku… http://disk.jabbim.cz/…ontyHall.pdf