Do jaké výšky sahá žebřík?

Hm odchýlka je takmer zanedbateľná, ale malo by to byť cca 9.9 m.

Chm, me vysly dve rovnice o trech neznamych. To asi nevyresim cooo? 🙂

h = 9,93799

Za moment sem vložím i jak jsem to spočítal.

Uz mam tri rovnice! 🙂 Jdu na to.

1.111881931, když spíš leží.

Moje řešení: Po chvíli hraní si s trigonometrií a podobnostmi jsem to vzdal a zapojil do hry analytickou geometrii. Představte si, že podlaha a stěna jsou osy x a y a žebřík je přímka p. Pro pořádek označme vzdálenost paty žebříku od „rohu“ (průsečíku podlahy a stěny) jako g.

Přímka p (žebřík) je popsaná rovnicí y = ax + b. Pokud se koukneme na obrázek, vyplynou nám z něj čtyři vztahy:

(1) bod [-1, 1] leží na p
(2) bod [0, h] leží na p
(3) bod [-g, 0] leží na p
(4) vzdálenost bodů [-g, 0] a [0, h] je rovna 10.

Tyto čtyři vztahy dají (v prvních 3 případech po dosazení do rovnice p) čtyři rovnice:

(1) 1 = -a + b
(2) h = b
(3) 0 = -ag + b
(4) g² + h² = 100

Máme soustavu 4 rovnic se 4 neznámými, snažíme se jí řešit takovým způsobem, abychom vyjádřili h.

Z h = b dostaneme:

1 = -a + h
ag = h
g² + h² = 100

Zřejmě g = h/a, a tedy:

1 = -a + h
(h/a)^2 + h² = 100

Teď už jen vezmeme a = h – 1:

(h/(h – 1))^2 + h² = 100

Tahle rovnice lze vyřešit, aspoň program Derive to umí :) Vyjdou čtyři řešení, z nichž jediné 9.93799 má smysl pro danou situaci. That's all. Snad jsem se nikde nespletl.

Díky dgx za zábavu na dnešní večer :)

BTW Jsem si jistý, že existuje i lepší řešení, jen jsem ho neviděl…

#6 Davide Majdo, Hezky. 🙂

#6 Davide Majdo, Na podobnou cestu jsem se dostal taky, jenom jsem to už nedokončil…

Jo, resil jsem stejnou rovnici. Ale bez pocitace bych to asi nezvladl, Maple holt umi vic nez ja.
Obe dve kladna reseni:
1/2+1/2*sqrt(101)+1/2*sqrt(98-2*sqrt(101)), 1/2+1/2*sqrt(101)-1/2*sqrt(98-2*sqrt(101)).

řešení je rovnice :

(1/x+1)^2+(x+1)^2 = 100

x je výška kam sahá žebřík.

je to správně?

#10 Daniel.Peder@infoset.czi, Vypadá to, že x=h-1 (??)

Když za „h“ použiju jen výšku zdi nad bednou (pak se jen přičte jedna) a třeba „a“ si označím délku žebříku nad bednou, pak z podobnosti trojúhelníku platí, že:

(10-a)/1 = a/h

a pak taky Pythagoras tvrdí, že

h² + 1 = a²

Prostá soustava dvou rovnic o dvou neznámých. Sice vede k netriviální kubické rovnici, ale koho by to trápilo, že? :)

Taky se může k té první podobnosti použít druhá podobnost, jenže ta spodní odvěsna (na podlaze) je taky kvadratický výraz. To si vůbec nepomůžem.

Pak by se taky dala zapojit trigonometrie – třeba že sinus úhlu mezi zdí a žebříkem je 1/a jeho cosinus 1/(10-a). Ale to z hlavy taky neumím spočítat. Jde to sice už na rozdíl od kubické rovnice spočítat (nepřesně) kalkulačkou, ale to pořád není dost elegantní.

Takže to chce něco elegantnějšího, ale to teď, když už skoro spím, asi nepůjde. :(

A když už to někdo počítá s přesností na tisíciny mm, tak by mohl vzít do úvahy, že žebřík obvykle není sestaven z úseček (tedy z „tyček“ o nulovém průměru/tloušťce materiálu) a proto bude pravděpodobně jiná výška od země po dotyk se stěnou a jiná bude výška od země po nejvyšší bod žebříku. Ale o to určitě v příkladu nešlo.

No ja bych na to sel prakticteji, vzal bych metr a ten zeprik bych na tu bednu polozil – vysledek bude naprosto stejny, akorat se to bude lepe merit :)

Ještě mě napadlo vylepšení: představte si, že u té zdi nestojí bedna, ale je tam koule o průměru 1_m, a ten žebřík je opřený o ni. To je teprve zábava… :)

Zapojil jsem jen papir a tuzku a dostal se k polynoumu pateho stupne, ktery nas na stredni nejak nestihli naucit :).

Kdyz si danou situaci predstavime jako graf, tak mame osy x,y, a primku ktera prochazi bodem [1,1] se smernici z (ta je samozrejme zaporna.

Jeji rovnice je

y=z(x-1)-1

Zdi (osy x) se dotyka v bode f(0)=h, vyska je tedy h=1-z
Podlahy (osy y) se dotyka v f(g)=0, g=(-1/z)
Delka zebriku (podle pythagora) je sqrt(h²+g²), tedy

d=sqrt[ (1-z)^2 + (-1/z)^2 ]

Vime ze d=10, takze dosadime

10=sqrt[ (1-z)^2 + (-1/z)^2 ]

a kdyz vyloucime imaginarni reseni, muzeme upravit na

100=(1-z)^2 + (-1/z)^2

a pak jsem se dostal nejdal na

z² – 2z³ + z⁴ + 1=100

A s tim si nevim rady…

Kdyz bych znal z, h=-z+1 – tot reseni. A bez kalkulacky/PC :))

#16 Keffe, A, uz to mam:

z² – 2z³ + z⁴ = (z – z²)^2

takze

(z – z²)^2+1 = 100

(z – z²)^2 = 99

(z – z²) = sqrt(99)

Cimz vyjde kvadraticka rovnice

• z² + z – sqrt(99) = 0

a pak uz staci numericky resit a dosadit, coz uz neni zadna kreativni prace a navic tu nemam po ruce zadne ‚numericke resitko‘ pro kontrolu :))
Bingo :)

Já jsem vyšel ze tří pravoúhlých trojúhelníků a vyšly mi dvě rovnice o dvou neznámých, které jsem ale bohužel nedokázal vyřešit (s je vzdálenost žebříku od zdi):

h^2 + s^2 = 10^2
sqrt((h-1)^2 + 1^2) + sqrt((s-1)^2) + 1^2) = 10^2

#17 Keffe, Mas to spatne, vyjdou ti komplexni h, proboural jsi zed do dalsi dimenze 🙂.

Napsal jsem si dvě rovnice o dovu neznámých. První rovnice vycházela z podobnosti trojúhelníků a druhá byla pythágorova věta toho trojúhelníku nad bednou. Neznámé délky si napíšeme jako x,l,x+1 a 10-l já měl pro h velikost x+1 a konečná rovnice po dosazení do pythágorovy věty mi vyšla x⁴+2x³-98x²+2x+1=0 jediný kořen co má smysle je 8,93… Takže +1 a výška tedy je 9,93…